Здравствуйте! Вот решаю контрольную. Сделала один пример. Пожалуйста подскажите правильно решила или где то ошибку допустила.

Задание: Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Неправильно.
Нужно разделить всё на x^2 и получится линейное неоднородное уравнение,которое просто решается.

Интересное у вас решение. Я бы сводила к линейному уравнению первого порядка.

граф Монте-Кристо скажите пожалуйста. вот разделить всё на x^2 это до интеграла или после (какая по счету строчка)? спасибо за ранее.


просто я эти примеры года три не решала. все забылось :-(

вторая, если первая - это условие.


Ой, к графу Монте-Кристо был вопрос.

спасибо tiq81 за ответ :-)


ну что-то у меня не получается. разучилась наверно уже делить :-(
x^2*(dy/dx)+xy+1=0 /x^2

(x^2/x^2)*((dy/dx)/x^2)+(xy/x^2)+1/x^2=0
dy/x^2dx+ y/x+1/x^2=0

правильно?

Ссылку еще посмотрите.

посмотрите пожалуйста правильно?

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Не поняла, как v находили... А также и u.

я с политеховых тетрадок взяла.

v=e^(-integral p(x)dx) - это как бы вроде формула идет.
может за памятывала.

Хм...
Итак, получилось уравнение:
y'+y/x=-1/x^2
y=uv => y'=u'v+uv'
u'v+uv'+uv/x=-1/x^2
u'v+u(v'+v/x)=-1/x^2
v'+v/x=0 - отсюда находим v.
u:u'v=-1/x^2

извините пожалуйста за туго соображаемость, но я не могу понять как из того уравнения найти V.

Это уравнение с разделяющимися переменными

вот так:
v'+v/x=0
=> v'=dv/dx

а это надо?
dv/dx+v/x=0
dv/dx=v/x /*dx
dv=(v/x)dx
интеграл dv=интеграл (v/x)dx

это кто вам такое сказал. v - это функция от х, т.е. v'=dv/dx.

т.е

ну конечно, уравнение ведь решить надо

посмотрите, потеряли знак.

слева должно быть только v, а справа - х. Поэтому левую и правую часть делим на v, т.е. разделяем переменные. Вы по ссылочке ходили? Там аналогичное уравнение рассматривается.

здесь наверно тоже я знак потеряла?
dv=- (v/x)dx
интеграл dv= - интеграл (v/x)dx

да по ссылочке ходила. вот по тому примеру примерно сообразила как решать. я только с du перепутала. заместо du надо было dx.

ну да.
только правильно разделите переменные.

а прежде чем переменные делить, надо же из интеграла вытащить?
тогда первый интеграл будет равняться V
а второй -ln(x)?

Вы переменные вначале разделите, а уже потом интегрируйте.

правильно разделила?

интеграл dv=- интеграл (v/x)dx /v
интеграл dv/v=- интеграл ((v/x)/v)dx
интеграл dv/v=- интеграл dx/x

интегрируем:
ln(v)+c=-(ln(x)+c)

Разделили верно, но интеграл нашли неправильно.
П.С. интеграл лучше пишите int, букв по-меньше.

таблица интегралов

интегрируем:

ln(v)+c=-(ln(x)+c)

Лучше так записать:
ln(v)=-ln(x)+lnc => lnv=lnc/x => v=c/x.
Находите далее u.

U находим из этого уравнения:
u'v=-1/(x)^2

тогда следует что это уравнение должны разделить на V чтобы избавится в левой части от V.
получается:
u'=1/((x)^2v)

так?

так, но выше было найдено, что

Подставляйте и разделяйте переменные.

в уравнение:
u'=1/(x^2*v)

подставляем v=c/x

получаем:
u'=1/(x^2*(с/х))

а как разделить?

u'=du/dx, в правой части преобразовываем:
1/(x^2*(с/х))=1/(сх).

du/dx=1/(сх)

так что ли?

ну конечно. Разделяйте теперь переменные.

для этого надо чтобы в левой части осталось U, а в правой Х?
тогда получаем
du=(1/(cx)/dx
du=ln(x)dx+c

правильно?

почему dx в знаменателе?
Должно получиться следущее: du=dx/(cx)

это что такое?
Интегрируем левую и правую часть полученного равенства:
intdu=intdx/(cx)
...

получается:
u+c=-ln(cx)
u=-ln(cx)-c

так?

intdu=intdx/(cx)
u=(1/c)int(dx/x)=(1/c)*lnx+c1

опять не правильно
мы кажется минусы пропустили?



теперь находим уравнение для общего решения?
куда u и v подставляем в формулу y=uv?

кажется да...

да, теерь находите у, зная u и v.

я сейчас просматривала полностью решение и кажется что мы еще вот здесь пропустили минус.
v=c/x

должно быть v=-c/x
тогда u у нас получается со знаком "+"

возможно... Найдите у и сделайте проверку, подставив его в заданное дифференциальное уравнение. Также аккуратно еще раз выпишите все решение (т.к. мы его записывали кусками и могли что-то потерять).

где
u=(1/c)*ln(x)+c1
v=-(c/x)

подставляем
y=((1/c)*ln(x)+c1)*(-(c/x))

раскрываем скобки
y=(((1/c)*ln(x))*(-(c/x)))+(c1*(-(c/x)))

в первой скобке получилось
(((1/c)*ln(x))*(-(c/x)))=-((1/x)*ln(x))

а во второй что получится?

между двумя скобками будет знак "-".

т.е. -lnx/x

c1*(-c/x)=-(c1*c)/x=-c2/x, где с2=с1*с.

в общем "общее решение дифференциального уравнения" получается

y=-((lnx/x)-(c2/x)).

а вот проверку делать найденный у подставлять в самое первоначальное уравнение ((x^2)*y'+xy+1=0)?
или в то уравнение (y'+(y/x)+(1/(x^2))=0) которое получилось когда первоначальное поделили на (x^2)?

я вас уже наверно замучила...

Это одно и того же уравнение. Вообще подставлять лучше всего в исходное уравнение.

в исходное уравнение (x^2)y'+xy+1=0 подставила y=-((ln(x)/x)-(c2/x)).
получилось
(x^2)*(-((ln(x)/x)-(c2/x)))'+x*(-((ln(x)/x)-(c2/x)))+1=0

как вычислить вот эту производную (-((ln(x)/x)-(c2/x)))'=...?

исолзуя правила дифференцирования:
(u-v)'=u'-v'
(u/v)'=(u'v-uv')/v^2
(cu)'=c*u'

ПРИМЕРЫ

у меня получилось:
первое правило:
-(ln(x)/x)'-(c2/x)

второе правило:
-(((ln(x))'*x-ln(x)*(x)')/(x^2))

третье правило что-то не поняла (примеры смотрела)...

(-ln(x)/x-c2/x)'=-(ln(x)/x)'-(c2/x)'
Первое слагаемое по правилу (u/v)'=(u'v-uv')/v^2. Записуйте, чему в вашем случае равно u, чему v, подставляйте в формулу и находите производные.
Второе слагаемое: (c2/x)'=с2(1/х)'=c2*(x^(-1))'=...
Далее смотрите таблицу производных.

в моем случае u=ln(x)
v=x
подставляю -(ln(x)'*x-ln(x)*(x)')/x^2=-((1/x)*x-ln(x)*1)=-(1-ln(x))/x^2
правильно?



(c2/x)'=с2(1/х)'=c2*(x^(-1))'=...с2*(-1*(x^(-1-1))*(x)'=-c2*(x^(-2))
правильно?


в итоге получаем (-((ln(x)/x)-(c2/x)))'=-(((1-ln(x))/x^2)-(-c2*(x^(-2))))

верно или нет?

верно

похоже на правду, только после первого равно знаменатель потеряли

и теперь делаем, чтобы степень была положительной, т.е. -c2*(x^(-2))=-с2/x^2

вычислили производную (-((ln(x)/x)-(c2/x)))'=-(1-ln(x))/x^2-(-(c^2/x^2))=-(1-ln(x))/x^2+(c^2/x^2)



после вычисления производной получилось:
(x^2)*(-(1-ln(x))/x^2+(c^2/x^2))+x*(-((ln(x)/x)-(c2/x)))+1=0

а дальше что делать? скобки раскрывать?