Здраствуйте! Запутался с задачей, помогите пжл...

Точка А(3;4) является вершиной квадрата, D(5;1)-точка пересечения диагоналей. Составить уравнение сторон квадрата.

Я нарисовал квадрат. Так как D(5;1) - т. пер. диагоналей, и известна т. А, то можем найти т. С, как вторую точку диагонали АС. Ищем...
Xd=(Xa+Xc)/2, значит 5=(1+Xc)/2 => Xc=9;
Yd=(Ya+Yc)/2 => 1=(4+Yc)/2 => c=-2;
Получаем, что С(9;-2).
Дальше я ищу уравнение АС..
Но как найти другие вершины квадрата - вот это вопрос ?? Поможете ?

C(7;-2)
Диагонали квадрата перпендикулярны.

Нет, все так С(9;-2), т.к. я ошибся в условии - там A(1;4)...

Извиняюсь за глупы вопрос, но как найти вторую диагональ? Если эти диагонали перпендиклярны, то там осто знак меняется или как-то по определенной формуле ?

Уравнение одной из диагоналей известно? Посмотрите условие перпендикулярности двух прямых.

да, уравнение известно, а точнее я его нашел - оно равно y=(-6/8)x + 38/8

совершенно верно, вы его можете найти и, самое главное, нашли. Только у меня что-то не такое получилось!? Распишите, как находили уравнение АС.

Далее посмотрите условие перпендикулярности двух прямых и еще и постройте уравнение второй диагонали по точке и угловому коэффициенту (соответственно посмотрите, что это за уравнение).

Расписываю :
A(1;4) , C (?)
Так как известны точки А и D, то можем найти С - ищем...
Xd=(Xa+Xc)/2 => 5=(1+Xc)/2 => 1+Xc=10 => Xc=9
Yd=(Ya+Yc)/2 => 1=(4+Yc)/2 => 4+Yc=2 > Yc=-2
Итак, координаты точки С известны - С(9;-2)
Теперь находим уранение прямой АС:
(X-X1)/(X2-X1)=(Y-Y1)/(Y2-Y1)
(X-1)/(9-1)=(Y-4)/(-2-4)
(-6)(X-1)=8(Y-4)
8Y=-6X+38
Y=(-6/8)X + 38/8
Вот так я нашел уравнение АС...

НА одном из сайтов нашел условие перпендикулярности двух прямых - это коэффициенты: K2=-(1/K1). Получается, что прямые отличаются только коэффициентами ?? Или все-таки какое-то другое условие перпендикулярности?

Извиняюсь, я не заметил, что вы мне али ссылку, поэтому нашел в другом, но там такое же.

Еще раз внимательно все прочитав, увидела, что точка А с другими координатами. Теперь сошлось.


угловые коэффициенты перпендикулярных прямых взаимнообратны и отличаются знаком. Теперь далее, у вас есть точка, черех которую проходит вторая диагональ (точка D) и угловой коэффициент второй диагонали вы сможете найти из условия перпендикулярности. Строите уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Нестрашно. Хорошо, что нашли. Главное что нашли, а не где.

Извините, я немного не понял про то, как надо строить уравнение с помощью данной точки:
Уравнение "y=kx+b" есть уравнение прямой линии с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b - получается, что поэтому урав-нию строится уравнение моей перпендикулярной прямой...
Если подставить коэффициент, то все понятно, а что надо делать с "b" ?

Ну тут можно пойти двумя путями:
1. Подставляем k в уравнение y=kx+b. Чтобы найти b надо воспользоваться тем фактом, что вторая диагональ проходит через точку D, т.е. координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой.

2. Или лучще сразу воспользоваться формулой: уравнение прямой по точке D(x0; y0) и угловому коэффициенту k: y-y0=k(x-x0).

В случаях 1 и 2 должна получиться одна и та же прямая.

Значит, получаем, что уравнение второй диагонали равно y=(8/6)x - 34/6 ? Если я все правильно понял...

А потом мне надо найти одну из вершин из второй диагонали...

да, но только коэффициенты можно сократить.

Хорошо

Да, совершенно верно. Здесь воспользуйтесь тем, что длины сторон квадрата равны, а также тем, что стороны перпендикулярны. Или, что диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

П.С. Как мне кажется, уравнения диагоналей находить не надо было.

По-моему да, но если нашел, значит не помешает
Только у меня вопрос, я не нашел формулу нахождения какой-либо точки по правилу перпендикулярности сторон. У вас есть какой-нибудь источник по этому вопросу?

да и то так. Хотя, для нахождения координат четвертый вершины оно (уравнение диагонали) нам сможет пригодиться, чтобы не составлять еще одну систему.

НЕ поняла...
Или...
Пусть точка В имеет координаты (хВ,уВ). Составляете уравнение стороны АВ, составляете уравнение стороны ВС и записываете условие их перпендикулярности. Это получите одно из уравнений для нахождения хВ, уВ. Второе уравнение получите из условия, что стороны квадрата равны, т.е. АВ=ВС (или из того, что АD=BD)/

Спасибо! Сейчас попробую...

Здраствуйте! Опять я с глупыми вопросами

Составил уравнение AB:

(X-Xa)/(Xb-Xa)=(Y-Ya)/(Yb-Ya)

(X-1)/(Xb-1)=(Y-4)/(Yb-4)
(X-1)(Yb-4)=(Y-4)(Xb-1)

Также и с уравнением ВС:
(X-Xb)/(Xc-Xb)=(Y-Yb)/(Yc-Yb)
(X-Xb)/(9-Xb)=(Y-Yb)/(-2-Yb)

Дальше я в тупике

Есть только идеи идти через формулу, которую вы написали мне выше: Y-Y0=K(X-X0), но для этого надо еще найти угловой коэффициент. Может я иду не тем путем?

У меня известны только 2 вершины - А и С. Чтобы найти В, надо воспользоваться условием перпеникулярностидвух прямых - АВ и ВС, так? Я это сделал, но к сожалению запутался. Но в этих уравнениях у меня аж 4 неизвстных в каждом!

Вот рисунок задачи, извиняюсь, что раньше не смог выложить.
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Пожалуйста, помогите - я в отчаянии, у меня не получается.... :'(

arabidze
Вы ведь нашли уравнение диагонали BK? Воспользуйтесь тем,чтоу квадрата диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.Иными словами,найдите AD,а потом - на прямой BK такие точки,расстояние от которых до точки D равно AD.Там получится квадратное уравнение с двумя корнями,которые соответствуют разным вершинам.

Хорошо, но АD у меня наоборот найдено, AD => y=(-3/4)X + 19/4.

Расстояние AD тоже нашел - оно равно 5 см. AD=BD=KD (о св-ву том, что в квадрате диагонали равны).... А вот как найти точки, зная расстояние, я как-то завяз в вопросах...

на рисунке-то они видны (точки), а вот как найти, то никак...
если делятся пополам,я знаю только вот эту формулу:
Xd=(Xb+Xk)/2;
Yd=(Yb+Yk)/2.
Поэтому наверное мне и не найти...

Это у вас записано уравнение АD. Только что это за уравнение?


BD=sqrt((5-x)^2+(1-y)^2)=5
Уравнение диагонали BK: y=4x/3-17/3.
Т.е. sqrt((5-x)^2+(1-4x/3-17/3)^2)=5. Решаете данное уравнение.

Находите угловые коэффициенты данных прямых. Например для АВ:

(X-1)(Yb-4)=(Y-4)(Xb-1) => (Yb-4)Х-(Yb-4)=(Xb-1)Y-4(Xb-1) => Y=[(Yb-4)/(Xb-1)]Х+[4*(Хb-1)-(Yb-4)]/(Хb-1) => (если нигде не ошиблась) k1=(Yb-4)/(Xb-1).

Аналогично находите угловой коэффициент стороны ВС. И затем используете условие перпендикулярности прямых.

Сейчас посчитаю...

Вот что у меня получилось:

(X-Xb)/(Xc-Xb)=(Y-Yb)/(-2-Yb)
(X-Xb)(-2-Yb)=(Y-Yb)(Xc-Xb)
(X-Xb)(-2-Yb)=(Y-Yb)(9-Xb)

-2(X-Xb)-Yb(X-Xb)=9(Y-Yb)-Xb(Y-Yb)

9Y-9Yb-Xb(Y-Yb)=-2(X-Xb)-Yb(X-Xb)

9Y-9Yb=Xb(Y-Yb)-2(X-Xb)-Yb(X-Xb)

9Y-YXb+XbYb=-2(X-Xb)-Yb(X-Xb)

Y(9-Xb)=-2(X-Xb)-Yb(X-Xb)-XbYb

Получаю:
Y=[-2(X-Xb)-Yb(X-Xb)-XbYb]/(9-Xb)
Надеюсь, нигде не ошибся...

чему равен угловой коэффициент этой прямой?

По идее угловой коэффициент равен -(2+Yb), думаю, так

а про знаменатель забыли!?

ой ой ой! вот ответ: K= -(2+Yb)/(9-Xb)

ой ой ой!
Теперь записывайте условие перпендикулярности двух прямых...

Условие перпендик. какя понимаю К1К2=-1 => K1=-1/K2. Я правильно понял?

ну тогда получаем, что К2=(9-Xb)/(2+Yb)

А после этого можно уже найти хотя бы одну из вершин перпендик. диагонали?

тогда получаем, что

(yb-4)/(xb-1)=(9-Xb)/(2+Yb)

+ условие, что точка В принадлежит, например, диагонали ВК, уравнение которорй нам известно. Или, использовать то, что АВ=ВС. Но первое, как мне кажется, проще.

Чего то у меня совсем голова Кипит :'(
Запутался как найти B
BK: y=(4/3)x-17/3...

Если точка В(xb,yb) принадлежит прямой y=(4/3)x-17/3, то это значит, что ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой, т.е. yb=(4/3)xb-17/3.

Вообще, когда я когда то давно решал ее с репетитором, то у нас получилось, что B(8;5). И по уравнению, которое вы написали чуть выше, это сходиться....

не может этого быть!?

я вот думаю как найти координату X )))) Чего-то к вечеру мозг перестает работать

Если точки В, то у вас два уравнения относительно двух неизвестных, причем одна уже выражена через другую (yb=(4/3)xb-17/3). Подставляйте это выражение в другое уравнение (которое вы полусчили из условия перпендикулярности прямых) и будет вам счастье....

(Yb-4)/(Xb-1)=(9-Xb)/(2+Yb). В это уравнение?

Я сейчас решаю, сейчас нверное получу ответ

Это безусловно, самое главное, чтобы правильный

Уменя получается, что решений нет

Смотрите:
(Yb-4)/(Xb-1)=(9-Xb)/(2+Yb)



(Yb-4)(2+Yb)=(9-Xb)(Xb-1)

2*Yb+(Yb^2)-8-4*Yb=9*Xb-9-(Xb^2)+Xb

(Y^2) - 2Y-b=9X-9-(X^2)+X

(Y^2)-2Y-8=(-X^2)+10X-9

(Y^2)-2Y=(-X^2)+10X-9

((4/3)*X)-17/3))^2 - 2((4/3)*X)-17/3)=(-X^2)+10X-1

((16/9)X^2)-(2*(4/3)*(17/3)*X)+289/9)-((8/3)*X)+34/3=(-X^2)+10X-1

((16/9)*(X^2))-((136/9)*x)+289/9-((8/3)*x)+34/3=(-X^2)+10X-1

((16/9)X^2)+(X^2)-((136/9)*x)-((8/3)*x)-((30/3)*x)+(34/3)+1+289/9

((25/9)*x^2)-((190/9)*X)+(400/9)=0

25(X^2)-(190X)+400=0

Получается дискриминант меньше нуля

Проверила в Maple,решение есть. Сейчас поищу ошибку

П.С. Выделено красным, посмотрите.
П.С.1 А ответ как раз получается, как и у вас когда-то.

вместо -9 должна быть -1 урааа))

ну у вас -1 дальше и написано.
Посмотрите и другие неточности и ошибки.

Как-то сложно вроде. О - точка пересечения диагоналей.
AO = {4;-3}
Вектор {3;4} перпендикулярен AO и у них равные длины.
Получаем, что OB = DO = {3;4}
Тогда
B(5+3;1+4) = (8;5)
D(5-3;1-4) = (2;-3)

хм..