Задача:
Три стрелка стреляют одновременно в цель. Вероятность попасть первому из них - 0,9; второму - 0,7; третьему - 0,85. Найти вероятность того, что хотя бы два из них поразят цель.

А={двое стрелков поразят цель}
A1={попадут 1й и 2ой стрелки}
A2={попадут 1й и 3й стрелки}
A3={попадут 2ой и 3й стрелки}

B1={попали только 1й и 2ой}
B2={попали только 1й и 3й}
B3={попали только 2й и 3й}

Р(А)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3)

В1=А1*А2*А3 + А2*А1*А3=0,9*0,3*0,15+0,7*0,1*0,15=0,051
В2=А1*А2*А3 +А1*А2*А3=0,9*0,3*0,15+0,1*0,3*0,85=0,066
В3=А1*А3*А2+А1*А2*А3 = 0,7*0,1*0,15+0,1*0,3*0,85=0,036

Р(А) приблизительно равно 0,153

Верно ли я задачу решила?

Разумеется не правильно.
Что значит фраза "хотя бы 2"?

А разве А1 и В1 то как Вы описали данные события это не одно и тоже?


И еще из Ваших вычислений видно что события В1, В2 и В3 являются совместными. Тогда вероятность суммы совместных событий разве равна сумме вероятностей этих событий? Р(А)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3) ? Разве тогда это равенство верное?

Так дано в условии задачи "хотя бы два"
Подскажите, пожалуйста как решать данную задачу.

хотя бы 2 это значит 2 или 3 следовательно вероятность попадания равна сумме произведений вероятностей всех исходов для 2 и 3 т.е.
p(2)=0.9*0.7*0.15+0.9*0.3*0.85+0.1*0.7*0.85
p(3)=0.9*0.7*0.85
p=p(2)+p(3)
вроде бы так..


тоесть вам надо добавить к ответу еще p(3)


Ну я бы не стал так уж категорично говорить неправильно, просто забыла добавить к ответу вероятность когда все 3 попадут
Да, Р(А)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3) - верно, это совершенно точно

Спасибо вам)))

to 3y6aStick : из найденных В1, В2 и В3 (особенно то как они рассчитаны) видно что они СОВМЕСТНЫ!!!
Я именно имела ввиду что из-за неправильно рассчитанных вероятностей, нельзя утверждать что Вероятность суммы совместных событий будет равна сумме вероятностей!!!

Вероятности В1, В2, В3 найдены не правильно.

Так. Я полагаю, что здесь события независимые, т.е. наступление одного события не зависит от наступления другого, следовательно формула следующая:
Р(А*В)=Р(А)*Р(В). Это верно? И тогда, надо не складывать, а умножать исходные числа?

Вам надо найти вероятность двух несовместных событий:
С2 - любые два стрелка попали в цель
С3 - все три стрелка попали в цель

Пусть Аi - событие состоящее в том, что i-тый стрелок попал в цель.
Как записать события С2 и С3?

С3=0,9*0,7*0,85
С2=0,9*0,7*0,15+0,9*0,85*0,3+0,1*0,7*0,85
Так должно быть?

to matpom: извиняюсь проглядел


Да!
С моей срисовала?

Какое "да"? События просят записать, а не их вероятности.

Событие С2={попали 1 и 2 стрелки, либо попали 1 и 3 стрелки,либо попали 2 и 3 стрелки}
событие С3={попали первый, второй и третий стрелки}

Вы имели ввиду так записать?

Я просила записать не в виде предложения, а через события Аi. Что это за события смотрите в моем предыдущем сообщении.

Пока Вы сами не поймете как решать данный тип задач, списывая решение у другого человека большого толка не будет.

С2=А1*А2*А3+А1*А2*А3+А1*А2*А3
С3=А1*А2*А3

теперь так надеюсь?

да

Спасибо вам)

Добрый вечер! Проверьте, пожалуйста еще одну задачу.
На склад поступает 70% деталей 1 цеха и 30% деталей 2 цеха. Причем стандартные детали в 1 цехе составляют 80% производимых деталей цехом, а во втором 90%. Наудачу взята со склада деталь, какова вероятность того, что она стандартна.

Событие А={наудачу взятая со склада деталь стандартна}
В1={вероятность того, что взятая деталь с 1 цеха}
Р(В1)=1\2
В2={вероятность того, что взятая деталь со 2 цеха}
Р(В2)=1\2
В1(А)-условная вероятность того, что взятая деталь с 1 цеха стандартна.
В2(А)- условная вероятность того, что взятая деталь со 2 цеха стандартна

Р(А)=Р(В1)РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)
70%-100%(все детали 1 цеха)
80%-х

х=80%\7000%=0,011

30%-100%(все детали 2 цеха)
90%-у

у=90\3000=0,03

Р(А)=0,5*0,011+0,5*0,03=0,04

Верно ли я вычислила?

почему выделенное не совпадает?

ну а дальше вообще что-то не то всё...
Р(В1|А)=0,8 - это же дано по условию! что Вы намудрили-то? и т.д. для 2-го

Получается, что Р(В1)=0,7 , а Р(В2)=0,3
Тогда Р(А)=0,7*0,8+0,3*0,9=0,83
Вероятность того, что наугад взятая деталь стандартна 0,83.
Теперь верно?

Да теперь верно

Спасибо

Здравствуйте. Не совсем получается разобраться с задачей, не могли бы вы подсказать.
Устройство состоит из 6 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Устройство прекращает работу, если откажут не менее 2 его элементов. Найти вероятность бесперебойной работы устройства в одном опыте.

я для начала попыталась разобраться с обозначениями:
n=6, k=2, p=0,9; q=0,1.

Рn(k)=C_n_k*p^n*q^{n-k}
верно ли я все обозначила?

Если я Вас правильно поняла, то Вы хотите найти вероятность что РОВНО 2 из 6 элемента откажут.
Эту вероятность так и надо искать.
Но в задаче немного другое. Сказано что устройство прекращает работу если откажут НЕ МЕНЕЕ 2 элементов.

Пусть Ак - событие что отказало к элементов.
как записать событие С- отказало не менее 2 элементов?

С=А1*А2*А3*А4*А5*А6+А1*А2*А3*А4*А5*А6+А1*А2*А3*А4*А5*А6
Вы так имели ввиду?

Нет.
Я Вам сказала что Ак- это отказало ровно "к" элементов, а не к-ый элемент
Вам надо событие что отказало НЕ МЕНЕЕ 2 элементов

Р6(2)+Р6(3)+Р6(4) тогда эта формула получается.

А что 5 или все 6 элементов отказать не могут?

Точно, упустила из виду:
Р6(2)+Р6(3)+Р6(4)+Р6(5)+Р6(6)
Затем я по очереди должна вычислить каждое слагаемое. Буду вычислять

Можно и так. Но это длинно.
Попробуйте теперь найти противоположное событие, событию С
неС -меньше 2-х отказало

А потом определите что Вам быстрее посчитать р(С) или р(неС)
Следует помнить что
Р(С)+Р(неС)=1

Раз вы так обозначили, то устройство будет работать бесперебойно, если работает 6 элементов или 5 работает 1 отказал, порядок не важен...

Спасибо, Ярослав. Совсем не заметила что р=0,9

Марина Игоревна, если хотите продолжать решать по первоначальной схеме, то следует исправить р=0,1 (вероятность отказа)
q=0.9

если у вас n=6, p=0.1 (р-вероятность ОТКАЗА одного элемента)
то P=P0(6)+P1(6)

если p=0.9 (р-вероятность безотказной работы одного элемента)
P=P5(6)+P6(6)

Если считать Р5(6) то получается следующее:
Р_5_6*(0,9)^6*(0,1)^5=5!\6!(5-6)!*0,53*0,00001

Там где выражения с факториалами в знаменателе получается -1!. В интернете поискала информацию - нашла, что не существует факториала отрицательного числа, либо им не пользуются. На лекциях мы подобного рода примеры не рассматривали. Еще сказано, что отрицательное число указывает на ошибку. Может Р6(5) должно быть?

Да, Вам надо найти вероятность что 5 из 6 будут работать (если у Вас р=0.9)
Вы не правильно считаете.

А если считать, как вы указывали раньше Не С - то есть меньше 2х отказало, то тогда
Р=Р6(0)+Р6(1) при р=0,1 так же быстрее будет?

Это на Ваше усмотрение. Тут главное не попутать чему равно р.

Если ищете С, отказало менее 2 элементов и устройство работает дальше = > p=0.1 то Р=Р6(0)+Р6(1)


Кстате если р=0.9 и будете искать вероятность Р6(5)+Р6(6), то тоже найдете вероятность события С (так как в данном случае мы находим вероятность события когда работает 5 или 6 элементов)

Я поняла это. Просто я запуталась, потому что тут Ярослав цифры местами перепутал видимо:

если у вас n=6, p=0.1 (р-вероятность ОТКАЗА одного элемента)
то P=P0(6)+P1(6)

если p=0.9 (р-вероятность безотказной работы одного элемента)
P=P5(6)+P6(6)

Буду считать:)

Для самопроверки посчитала обоими способами и наконец получила ответ:

Р6(5)=6!\5!*1!*(0,9)^5*(0,1)^1=6*0,35*0,1=0,21

P6(6)=6!\6!*1!*(0,9)^6*(0,1)^0=0,53

Р=0,21+0,53=0,74
Вероятность того, что устройство будет бесперебойно работать в одном опыте равна 0,74

Теперь верно?

Вы наверно очень сильно округлили. Советую считать в экселе:
У меня Р(С)=0,885735
Пересчитайте Р6(5)

Точно, мой косяк...

Пересчитала, действительно я при расчете ошиблась, если не округлять, то овет как у Вас получается. Спасибо Вам

Доброе утро. Запуталась с несложной задачей.
Медиками установлено, что 94% лиц, сделавших прививки от клещевого энцефалита, приобретают иммунитет. Какова вероятность того, что среди 10000 граждан сделавших прививки, 800 человек не защищены от заражения; более 9000 граждан имеют к нему иммунитет?

n=10000
k=800
Нам нужно найти вероятность того, что 800 человек не защищены от клещевого энцефалита, следовательно : р=0,06
q=0,94

По асимптотической формуле Лапласса:

Р10000(800)=1\(10000*0,06*0,94)^(1\2)*varphi(x)=1\24*varphi(x)
вычислим значение х:
х=(800-10000*0,06)\(10000*0,06*0,94)^(1\2)=8,33
По таблице нет такого числа varphi(8,33). Значит я где-то ошиблась, не могу увидеть свою ошибку. Это первая часть задачи. Не поможете разобраться, где я не права?

я не знаю, что такое varphi...

но в принципе все правильно Вы делаете, это как обычно составители задач не трудятся даже среднее np посчитать, которое имеет хоть более-менее нормальную вероятность.

если Вас попросят объяснить, все очень просто: вероятность попасть в конкретное значение при таком числе испытаний (10000) и так очень мала, а наибольшие значения она имеет вблизи значений математического ожидания, которое в условиях данной задачи равно
M(X)=np=10000*0,06=600
и это самое вероятное значение нашей случайной величины. Но даже эта, максимальная вероятность составляет всего Р_{10000}(m=600)=0,0168

а Ваша вероятность - вероятность события, весьма далекого от среднего (800 от 600), несмотря на это, кстати, как и любого другого значения от 0 до 10000, не равна нулю, но ОЧЕНЬ к нему близка. т.е. с помощью таблиц не вычисляется.

для интереса - на самом деле она равна
Р_{10000}(m=800)=6,7657E10^(-18) (т.е. 0,0000000000000000067657)

это легко можно сделать, посчитав функцию Гаусса самостоятельно - с помощью научного калькулятора или Excel - там всего лишь экспоненциальная функция...

2-я задача - на интегральную теорему

varphi -это фи, я не знаю просто как это обозначить. Со второй частью задачи такая же ерунда получается, при таких данных очень большие пределы интегрирования получаются.
Вот, не поленюсь выложить решение:
x'=(к1-np)\(npq)^{1\2}=(9000-9400)\24=-16,666
x''=(k2-np)\(npq)^{1\2}=(10000-9400)\24=25
Р10000(9000,10000)=Ф(x'')-Ф(-x')=Ф(x'')+Ф(x')...
Опять же значения не табличные.
Четко сказано, что данную задачу надо применять по теоремам Лапласа.
У меня теперь вопрос как быть, переписать решение с большими числами, а потом на сессии пояснить преподавателю, что в задании не корректные данные? Товарищи, преподаватели, как быть-то?

ну да - та же ерунда..

здесь среднее np=9400, и интервал как раз вокруг него и достаточно большой...

а что ещё можно сделать? Естественно предоставить решение и четко все объяснить.
только у меня t немного не такие получаются.. Опять округляете, что ли?
t1=-16,84
t2=25,26

Используйте встроенные статистические функции Excel - НОРМСТРАСП, НОРМСТОБР.. Но здесь даже они не считают...

( и в той задаче t=8,42)

Спасибо Вам большое. Не знаю, что бы без вас делала.

Добрый день!
Такая задача:
Игроку их колоды в 36 игральных карт раздают 6 карт. Случайная величина Х-число число карт пиковой масти из розданных игроку. Требуется:написать закон распределения указанной величины; вычислить среднее значение и дисперсию с.в.; начертить многоугольник распределения;построить график функции распределения данной случайной величины Х.

Решать данную задачу, я стала, как нам говорили- составила все возможные выпадения пиковой и непиковой масти, получилось следующее:
0 - карт пиковой масти = 1
1- карта пик=6 вывпадений
2 карты пик=15 выпадений
3 карты пик=12 выпадений
4 карты пик=6 выпадений
5 карт пик=6 выпадений
6 карт пик= 1 выпадение

всего 47

xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,0213 0,1277 0,31915 0,2553 0,1277 0,1277 0,0213

Попыталась посчитать дисперсию - получилось отрицательное число
М(Х)=0+0,1277+2*0,31915+3*0,2553+4*0,1277+5*0,1277+6*0,213=3,55322
М(X^2)=0+0,1277+4*0,31915+9*0,2553+16*0,1277+25*0,1277+36*0,213=9,702172

D(X)=M(X^2)-[M(X)]^2=9,702172-(3,55322)^2=-2,9232
Может быть я неправильно считаю? Вроде бы по формуле. А как вычислить среднее значение я в учебнике не нашла, нашла тольео среднее отклонение.

У вас ошибка в вычислении у меня получилось M(x)=3.9592, M(x^2)=16.6057 (если все числа вы правильно нашли ) попробуйте пересчитать

В математике и статистике сре́днее арифмети́ческое (или просто среднее) набора чисел — это сумма всех чисел в этом наборе делённая на их количество.(думаю в вашем условии это имеется ввиду).

Спасибо, вам за подсказку)) Сейчас все пересчитаю)

вероятности посчитаны неверно. Что за выпадения??
Это - гипергеометрическое распределение.
Верояность того, что из 6 выпавших карт будет ровно m пик, равна: Р(6;m)=С(9;m)*C(27;(6-m))/C(36;6)

например, 2 пики: Р(6;2)=С(9;2)*C(27;4)/C(36;6)


получились точными подсчетами:
0 0,151972079
1 0,373022376
2 0,324367284
3 0,126142832
4 0,02270571
5 0,001746593
6 4,31258E-05

для матожидания и дисперсии этого распределения в принципе есть готовые формулы. Но, если Вам сказали считать по распределению, считайте. Только его пересчитайте правильно.


там все значения равновероятны. здесь -нет. Нужно использовать формулу матожидания, где каждое значение умножается на вероятность его появления (в матстате это аналогично умножению на частоту варианты). Так что не путайте автора...