Найти общее решение дифференциального уравнения:

2xy''y'=y'^(2)-4

Решение:
2xy''y'=y'^(2)-4

Делаем замену:
y'=z => y''=z'

Следовательно
2xz'z=z^2-4

Правильно?

да

а дальше как я не знаю....

А дальше разделяйте переменные.

это надо разделить левую и правую часть на (2x/z^2)?

Эх...
2xz'z=z^2-4
2xzdz/dx=z^2-4
zdz/(z^2-4)=dx/(2x)

Большой роли не сыграет, но я бы записал так: 2zdz/(z^2-4)=dx/x.

согласна, так будет лучше.

а дальше интегрировать?

int((2zdz)/(z^2-4))=int (dx/x)

Ну а что же еще?!

в правой части табличный интеграл:
int(dx/x)=ln(x)+c

а вот в левой части не табличный:
int((2zdz)/(z^2-4))=....

а что с ним дальше делать?
вроде дошарила

делаем замену:
где t=z^2-4
dt=2zdz

подставляем:
int((2zdz)/(z^2-4))=int(dt/t)=ln(t)=ln(z^2-4)+с

правильно?

Правильно, но лучше так:
int(dx/x)=ln(x)+lnc=ln(cx)

Начинается... А вы про метод замены что-то слышали?Если увидеть, что в числителе стоит произодная знаменателя, то... Вообщем нужно сделать замену z^2-4=t. Двойку лучше не выносить за знак интеграла.

в предыдущем сообщении я добавила... именно так и сделала


получается:

уравнение для общего решение у нас получилось такое:?
ln(z^2-4)=ln(cx)


решение окончено?

Уже увидела...

а заместо z что подставлять y'?

тогда получится:
ln(y'^(2)-4)=ln(cx)
правильно?
это уравнение является общим решением?

да, еще его можно немного упростить, потенциируем:
z^2-4=сх.

Смотрела исходное уравнение со всех сторон, z не нашла...

П.С. Не редактируйте старые сообщения, создавайте новые. А то читать тяжело.

y'=z
тогда
y'^(2)-4=cх - общее решение
верно?

да, т.к. вы именно такую замену делали.

Ну с учетом упрощений:
y'^(2)-4=cx.

Общее решение не должно содержать производной искомой функции

и что дальше делать?

Нет. Читайте замечание выше.
Теперь надо решить это ДУ.




Читайте выше.

П.С. У меня инет медленне работает, чем вы сообщения исправляете. Отвечаю на одно сообщение, в форме ответа открывается совершенно другое.

y'=dy/dx
следовательно
(dy/dx)^2-4=cx
интегрируем:
int((dy/dx)^2-4)=int(cx)

так?
а дальше?

y'^(2)-4=cх
Четвёрочку перенесите вправо;
Извлеките квадратный корень, про знаки не забудьте;
Интегрируйте.

Нет. Выразите из полученного ДУ у'. Т.е.
y'^(2)-4=cх
y'^(2)=cх+4
y'=sqrt(cх+4) и y'=-sqrt(cх+4)/
Теперь решайте

Значит, не наврала

y'^(2)=cx+4



int(dy/dx)=-int(sqrt(cx+4))
а дальше?

Переменные разделите, а затем интегрируйте.

для этого каждую часть умножим на (dx)
dy=-sqrt(cx+4)dx
правильно?

далее интегрируем:
int(dy)=-int(sqrt(cx+4)dx)
верно?

в правой части интеграла получим у.
в левой части ...

делаем замену сх+4=t^2.

получим
-int(sqrt(t^2)dx)

далее надо избавится от корня?
получим -(1/2)int(dx/t)
так?

почему dx осталось? Кто будет его выражать через dt?

Как вы избавились от корня?Откуда 1/2 появилась?Почему переменная t оказалась в знаменателе?

запарилась сори
получилось
-int(sqrt(t^2)dt)

так?



-int(t^4dt)

так?

т.е. если сх+4=t, то dx=dt?
Возьмите еще раз производную от левой и правой части.

Хм... Напишите свои преобразования.

то dx=-dt
верно?

сх+4=t
(сх+4)'dx=dt
cdx=dt.

подставляем:
-int(sqrt(t)dt)=
= -int(t^2 dt)=
=
а как теперь от квадрата избавиться?

С каких это пор корень из числа раняется его квадрату?! Т.е. sqrt(4)=4^2?
Хм... Мы ведь не такую замену делали, немного ошиблась:
сх+4=t^2
cdx=2tdt.
П.С. sqrt(t^2)=t.

А зачем от него избавляться?!Нао интегрировать как x^n.

-int(sqrt(t^2)*2tdt)=
=-int(t2tdt)=
=-2int(t^2dt)=
=-2*2t^(2-1)=
=-4t=
=-4(cx+4)=
=-4cx+16

верно? или скобки раскрывать не надо было?

y=-4cx+16 - общее решение

решение окончено?

Это вы производную взяли, а не проинтегрировали...
Итак,
сх+4=t^2
cdx=2tdt => dx=2tdt/c
int(sqrt(cx+4))dx=(2/c)int(t^2dt)=...
Далее открываем таблицу интегралов

получилось
...=(2/c)((t^(2+1))/(2+1)+c1)=
=(2/c)(t^3/3+c1)

так? еще что нибудь можно с ним сделать? раскрыть скобки? или не надо?

1) Еще нужно с ним сделать: вернуться к старой переменной х, т.е. выполнить обратную замену.
2) Можно переобозначить переменные: 2/с=В, 2с1/с=С

...=(2/c)(t^3/3+c1)=
=(2/c)*(t^3/3)+(2/c)*c1=
=(2/c)*(t^3/3)+(2c1/c)=
=(2/c)*(((cx+4)^2)/3)+(2c1/c)=
делаем переобозначение переменных
=В*(((сx+4)^2)/3)+C

верно?

общее решение:
y=В*(((сx+4)^2)/3)+C

так? решение окончено?

У Вас уравнение 2 порядка, соответственно количество постоянных интегрирования должно быть 2, а не 3 как у Вас.

y=(B((cx+4)^2))/3+c

так?

Если cx+4=t^2, то как получилось, что t^3=(cx+4)^2?

просто (сх+4) должно получиться (т.к. (сх+4) это уже t^2, а до третьей степени нехватает одной степени, т.е. 1) ?

верно?

Ого. Оригинально.

а если на правильность???

Вы возьмите справочник или школьный учебник по математике и посмотрите тему распределительный закон умножения, правила преобразования выражений. Если Вы в этом плаваете, то дальше Вы все будете делать неправильно.

(a+d)=t^2
(a+d)^(1/2) =t
(a+d)^(3/2) =t^3 вот как правильно.

cx+4=t^2 => t=sqrt(cx+4) => t^3=(cx+4)^(3/2)

z(x)=y'^(2)-4

x*z'=z

Красотище!