Подскажите каким методом решается вот это диф.уравнение (найти общее решение):
y'+sin(x+y)=sin(x-y)

я думаю надо начать так:
y'+sin(x+y)=sin(x-y)
y'=sin(x-y)-sin(x+y)
y'=sin(x^2-y^2)

правильно?

правильно

"интересную" формулу применили. Найдите тригонометрические формулы, вас интересует "разность синусов"

Либо раскройте синусы суммы и разности по соответствующим формулам,а потом разделите переменные и проинтегрируйте.

формула "разность синусов" :
sinA-sinX=2sin((A-X)/2)*cos((A- X)/2)

следовательно:
y'=2sin(((x-y)(x+y))/2)*cos(((x-y)(x+y))/2)

так?
что дальше делать?

А ну еще раз формулу примените...Вы где-то минусы потеряли. И если я ее правильно нашла, то она такая:
sinx-siny=2sin(x-y)/2*cos(x+y)/2



или конечно так...

хорошо сейчас проверю...

y'=sin(x-y)-sin(x+y)

получилось:
y'=2sin((x-y)-(x+y))/2*cos((x-y)-(x+y))/2

теперь воспользуемся формулами:
sin(x/y)=(+/-)корень((1-сosx)/2) и
cos(x/y)=(+/-)корень((1+сosx)/2)

получилось:
y'=2корень((1-сos(x-y)-(x+y))/2)*корень((1+сos(x-y)-(x+y))/2)

верно?

Никогда о таких формулах не слышал.

Раскройте скобки и посмотрите,что там можно будет сделать.

еще раз посмотрите формулу разносчти синусов, например, здесь:
sinx-siny=2sin((x-y)/2)cos((x+y)/2). По крайней мере у меня она выглядит так.

что это за формулы и зачем вы их приминяете? После того как применете формулу разности синусов, упростите аргументы функций.

П.С. Попробуйте может быть способ, предложенный графом Монте-Кристо?Может он вам окажется проще?Только формулу также примините правильно.

из этих формул следует, что значение sin(x/y) не зависит от игрека.

эти формулы я нашла в учебнике Богомолова



и что это значит? она для моего примера не подходит?

еще раз перепроверьте...

это значит, что в левой части равнества у присутствует, а в правой где-то испарился. Такого быть не может.

Нет, не подходит. Вам пока надо или разность синусов или синус разности и суммы.

знак исправила

упрощаю:
y'=2sin(x-y-x-y)/2*cos(x-y+x+y)/2
y'=2sin(-y-y)/2*cos(x+x)/2
y'=2sin(-2y)/2*cos(2x)/2
y'=-2siny*cosx

ну что правильно?

"Кричали девушки ура и в воздух чепчики бросали..."
Теперь разделяйте переменные.

а как разделять?

получится типа:
2siny=cosx

ну начинается...


Имеем уравнение y'=-2siny*cosx, здесь y'=dy/dx. Подставляем в уравнение и преобразовываем его так, чтобы в левой части стояли только функции от у, а в правой от х. Посмотрите еще раз предыдущий ваш пример, а также здесь.

получится:
dy/dx=-2siny*cosx делим на (siny)/dx
получится
dydx/sinydx=(-2siny*cosx)dx/siny
dy/siny=-siny*cosx

а дальше что делать? интегрировать?

т.е. домножаем на dx/siny

почему справа такое получилось? Еще раз внимательно выполните действия.

y'=sin(x-y)-sin(x+y)
по формуле:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

получилось:
y'=2cos((x-y)+(x+y))/2*sin((x-y)-(x+y))/2

упрощаем:
y'=2cos(x-y+x+y)/2*sin(x-y-x-y)/2
y'=2cos(x+x)/2*sin(-y-y)/2
y'=2cos(2x)/2*sin(-2y)/2
y'=2cosx*(-siny)
y'=-2cosxsiny

разделяем переменные:
где y'=dy/dx =>
dy/dx=-2cosxsiny /*dx/siny
dy/siny=(-2cosx/siny)dx
dy/siny=-2cosxdx

правильно?
а вот дальше стопор

Правильно. Теперь интегрируйте правую и левую часть. Справа табличный интеграл, для левого попробуйте универсальную тригонометрическую постановку.

справо получилось -2sinx+c

а вот про универсальную тригонометрическую постановку я даже не знаю что это

правильно

Запускаете гугл и ищите, смотрите примеры.

левая часть int dy/sin=int (2tgy/2)dy/(tg^2 (y/2)+1)

так?

Да.

что дальше делать?

Сделайте замену переменных tg(y/2) = t, находите dt, подставляйте dу, выраженное через dt, вычисляйте интеграл.

Посмотрите еще раз внимательно примеры + внимательно сообщение графа Монте-Кристо.

получим:
int (2tdy/t^2+1)

dy будет или dt?

Пока вы его не выразите через t будет dy. Если tg(y/2)=t => y/2=arctgt => y=2arctgt. Дифференцируете и находите dy.

П.С. Не забывайте расталять скобки, а то иначе выражение нечитабельно или неправильно читаельно.

вот не поняла выделенное красным.
я что не правильно выразила?
int (2tdy/(t^2+1))

Если tg(y/2)=t, то выражая из этого равенства у/2, получаем, что y/2=arctgt, домножаем левую и правую часть на 2, имеем: y=2arctgt. Посмотрите примеры, в которых применяется универсальная тригонометрическая подстановка. Если вдруг случайно не найдете в книге ( ), поищите в сети.

ВЫразили правильно, но недовыражали. Не пересчитали дифференциал. А в таком виде, как вы получили интеграл, он считается легко: подынтегральная функция 2t/(t^2+1) от переменной интегрирования у не зависит, а значит относительно ее константа, т.е. ее можно вынести за знак интеграла: 2t/(t^2+1)*intdy. Знак интеграла уничтожает знак дифференциала, т.е. получаем, что заданный интеграл равен 2t/(t^2+1)*у. А это не есть верно.

У Вас простейшее диф. уравнение, которое решается за 10 мин. Вы его мусолите целую неделю, "интересные" формулы применяете и скобки неправильно расставляете. Что так плохо по математике-то "шарите"?

Я математику три года не решала...все забыла...

Ну так что получилось?

Я тоже 9 лет назад закончил ВУЗ и с того времени ничего не решал, но вроде все помню.

а вот так можно сделать:

int ((2tg(y/2)dy)/(tg^2(y/2)+1))
делаем замену где
tg(y/2)=t
dy=dt
получим
2int ((tdt)/(t^2+1))

Неверно.Это Вы слишком уж себе жизнь решили облегчить.

Вы так примеры и не посмотрели....

наоборот посмотрела вот там как я сделала было...

а dy=(2dt)/(1+t^2)???

Где смотрели? Пример точно был с использованием универсальной тригонометрической подстановки?

в интернете. да был с использованием универ. триг. подстановкой.

ссылку дайте. Или уже разобрались?

несовсем.

получается:
int dy/siny=-2int cosxdx

делаем замену
tg(y/2)=t => y=2arctgt
dy=(2dt)/(1+t^2)

получаем:
2int ((tg(y/2))/(tg^2(y/2)+1))*((2dt)/(1+t^2))=-2int cosxdx

так? или опять что то напутала?

А тангенс половинного аргумента вы как заменили? У вас интеграл должен получиться только зависящим от t. Еще раз внимательно просмотрите пример, посмотрите другой подобный пример. Скачайте, например, книгу Каплан "Практические занятия по высшей математике", там подобные примеры также рассматриваются. Вообще посмотрите тему интегрирования, особенно рациональных дробей, т.к. в конечном итоге вы должны свести ваш интеграл к такому.

это надо было заместо у подставить 2arctgt.
т.е. получится
2int ((tg(2arctgt/2))/(tg^2(2arctgt/2)+1))*((2dt)/(1+t^2))

получим в итоге
2int ((tg(arctgt))/(tg^2(arctgt)+1))*((2dt)/(1+t^2))

так?
а вот левую часть отдельно можно проинтегрировать и привести к выражению с у, чтобы правую часть не трогать, т.к. там табличный интеграл получается?


спасибо за книгу! скачиваю...

надо было вместо tg(y/2) подставлять t

так и нужно

пожалуйста

т.е получим
2int (t/(t^2+1))*((2dt)/(1+t^2))
верно?

далее будет
2int((2tdt)/((t^2+1)^2))
4int((tdt)/((t^2+1)^2))