Здравствуйте, всех с наступающим Новым годом!

Искал, искал на форуме, но подобной задачки не нашел

"Построить ряд распределения, функцию распределения, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х: АТС обслуживает 1500 абонентов. Вероятность того, что в течение 3 минут на АТС поступит вызов, равна 0,002. Х - число вызовов, поступивших на АТС в течение 3 минут."

Все, до чего я додумался - это построить некое подобие ряда: первое событие, что в течение 3 минут вызов поступит имеет вероятность 0,002, второе событие противоположное ему, что ни одного вызова не поступит имеет соответственно вероятность 0,998... но ведь еще дано кол-во абонентов (1500)... можь надо "сгенерировать" еще события, с помощью схемы Бернулли, например...

Подскажите чуть-чуть в каком направлении двигаться.

В Вашем условии пропущены ключевые слова. Должно быть так: "Вероятность того, что в течение 3 минут на АТС поступит вызов от данного абонента, равна 0,002. Эта вероятность одинакова для всех абонентов и их действия независимы. "

Теорема Пуассона.

я тут почитал, порешал и вот что получилось:

По теореме Пуассона получается следующий ряд распределения:
для X=0, p = 0.0498
X=1, p=0.1494
X=2, p=0.224
X=3, p=0.224
X=4, p=0.168
X=k, p= 3^k * [(e^-3)/k!] (ф-ла Пуассона)

для биномиального распределения лямбда = n*p, математическое ожидание и дисперсия равны и равны этому самому среднему появлению событий т.е. лямбде (для распределения Пуассона)

осталось только построить функцию распределения, но я не пойму как, ведь тут нет четкого ограничения по кол-ву событий... и зачем дано, что "в течение 3-х минут"?

"в течение 3-х минут" - это просто событие у Вас такое, Вам дана вероятность поступления вызова именно в течение 3-х минут, на это вообще не стоит обращать внимание...

а функцию распределения стройте точно так же, как и ряд - укажите несколько первых значений, можно общую формулу через k дать и затем поставить точки .... и последнее её значение, равное 1 при X>1500

"В течение трёх минут" дано для того, чтобы была не очень велика вероятность иметь вызов от одного клиента. Вы хотите куда-то использовать это число? А если бы было написано, что речь идёт о 316-й АТС г. Омска, число 316 тоже куда-то надо было испоьзовать?

Вероятности нашли верно. Дальше Вам придётся сделать выбор: считать ли распределение Х биномиальным (каковым оно на самом деле является) или пуассоновским (это лишь приближение, но довольно точное, для исходного биномиального распределения). Разница в вероятностях - только в 4-м знаке, разница более заметная будет в дисперсии: если распределение Пуассона, то дисперсия 3, а если биномиальное - то n*p*(1-p) = 2,994. И есть разница - в графике функции распределения: у биномиального распределения число значений конечное, рано или поздно функция распределения станет 1, а у Пуассона - бесконечное,функция распределения приближается к 1, но так и не достигает её, хотя человеческому глазу очень скоро отличие от 1 перестаёт быть заметным. По смыслу условия предполагается всё же использование рапсределения Пуассона. Что смущает в построении функции распределения? Начните строить, а дальше поможет магическое "..."

Upd: О-опс. Как всегда, слишком долгое размышление над ответом подвело Ну ладно, мы почти дословно друг друга повторяем, это тоже полезно

Juliya и malkolm, спасибо за такие шикарные ответы! Буду строить функцию и приниматься за следующую задачку

malkom, хотела тонкости обсудить..
но ведь здесь, хоть мы и используем пуассоновскую аппроксимацию, у ДАННОЙ случайной величины ведь функция распределения имеет конечное число значений в силу ограниченности значений случайной величины. Ведь у нас 1500 абонентов, и случайная величина принимает значения от 0 до 1500. Тем более, что после Р(Х=23)=1,813055E-13 значения вероятностей ничтожно малы, а функция распределения после Х=12 уже практически равна 1. Что говорить о приближении к 1500...

Конечно, я и говорю, что истинное распределение - биномиальное. Да: нужно считать распределение Х биномиальным, а теорему Пуассона использовать лишь для того, чтобы не считать вероятностей по формуле Бернулли. Так что подумавши, снимаю своё предложение о распределении Пуассона: дисперсия D(X) = 2,994, график функции распределения после 1500 обращается в 1 железно. Спасибо!