lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x)

Можно ли здесь заменить y=kx, где k - некоторое число?
И тогда
lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x)=

=lim(x->0) ((kx)^2+2x)/((kx)^2-2x)=

=lim(x->0) (k^2x+2)/(k^2x-2)=-1

Или это неправильное решение?

Такую замену делать можно, т. к. предел функции не зависит от пути, по которому точка (х,у) стремиться к точке (0,0).
Я думаю, это правильное решение, потому что результат не зависит от k при х->0.

Неверно. Конкретную форму зависимости у от х задают в том случае, если хотят доказать отсутствие предела.
Его действительно нет. Для доказательства надо стремление к началу координат брать по кривым вида x=k*y^2

Спасибо!

Тогда так
lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x)=|x=k*y^2|=
=lim(y->0) (y^2+2ky^2)/(y^2-2ky^2)=
=lim(y->0) (1+2k)/(1-2k)=(1+2k)/(1-2k)

А так как при разных k предел принимает различные значения, то lim(x->0;y->0) (y^2+2x)/(y^2-2x) не существует.

Теперь правильно?

Да!

Ой, спасибо, огромное!

А можно еще вопрос, Нажмите для просмотра прикрепленного файла как определять, что тот или иной предел, который надо найти, не существует?
Понятно, что, если в задание сказано "показать, что для функции f(x,y)=... предел... не существует", то можно пробовать замены.
А если просто "найти предел..."?

Отсутствие предела доказывается как в предыдущем примере: придумывается (параметрический) закон стремления точки (х,у) к (х0,у0) (т.е. y=g(k,x) , такой, что при x->x0 будет y->y0), при котором предел зависит от величины параметра.
Если надо вычислить предел, то пользуются теми же приемами, что и при вычислении обычных пределов. Лучше посмотреть примеры в пособиях (для университетов).
Неплохое пособие:
В.Ф. Бутузов и др. "Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных".
У этих авторов есть и другие пособия.

Понятно, спасибо!

И еще один вопрос:

Разбираю решение примера
"Показать, что для функции f(x;y)=(x-y)/(x+y)
lim(x->0;y->0) f(x;y) не существует.

Поскольку последовательности (x_n;y_n)=(1/n;1/n), (x'_n;y'_n)=(2/n;1/n) сходятся к точке (0,0) при n->00,
а соответствующие последовательности значений функций сходятся к различным пределам

f (x_n;y_n)=0 -> 0, f (x'_n;y'_n)=(1/n)/(3/n) ->1/3 при n->00, то предел lim(x->0;y->0) f(x;y) не существует."

Вопрос в следующем, по какому принципу выбираются последовательности "(x_n;y_n)=(1/n;1/n), (x'_n;y'_n)=(2/n;1/n)"?

И как их выбрать в случае f(x;y)=(x+y)/(x-y)?

Так и выбирают, чтобы пределы оказались разными.
Во втором случае можно брать те же последовательности.
Вообще можно брать у=к*х при разных к.

Спасибо, venja!