Здравствуйте, помогите пожалуйста с решение дифференциальных уравнений высших порядков.

1) y''+32*sin(y)*cos^3(y)=0
делаем замену
y'=dy/dx=P
y''=dP/dx=PdP/dy

тогда PdP/dy + 32*sin(y)*cos^3(y)=0
PdP/dy = -32*sin(y)*cos^3(y)
PdP= (-32*sin(y)*cos^3(y))dy
дальше не могу понять как разложить, так как при замене cos^3(y) на cos(y)*(1-sin^2(y)) после того как подставить в выражение
PdP= (-32*sin(y)*cos(y)*(1-sin^2(y)))dy и вынесения PdP= (32*sin(y)*cos(y)*(-1-sin(y)))dy не понятно как разложить?

2)y''' * tgx=y''+1
P=y''
P*tgx=P+1
dP/dx*tgx=P+1

так как P=P(0)+P(*)

dP/dx=(P(0)+1)/tgx
dP/(P(0)+1)=dx/tgx
ln|P(0)+1|=cosxdx/sinx
ln|P(0)+1|=dsinx/sinx
ln|P(0)+1|=ln|sinx|+ln|c(1)|
P(0)=c(1)*sinx-1
дальше находим P(*)

P(*)=c(*) sinx
P'=c(*)' sinx-1 + c(*) cosx -1

подставляем в dP/dx*tgx=P+1
(c(*)' sinx-1 + c(*) cosx -1)*tgx=c(1)*sinx-1+1
(c(*)' sinx-1 + c(*) cosx -1)*sinx/cosx=c(1)*sinx
приведём к общему знаменателю cosx
(c(*)' sinx-1 + c(*) cosx -1)*sinx/cosx=c(1)*sinx*cosx
переносим c(1)*sinx*cosx в левую часть
((c(*)' sinx-1 + c(*) cosx -1)*sinx-c(1)*sinx*cosx)/cosx=0

((c(*)' sin^2(x)-sinx + c(*) sinx cosx -sinx-c(1)*sinx*cosx)/cosx=0

((c(*)' sin^2(x)-sinx -sinx)/cosx=0
((c(*)' sin^2(x)-2sinx)/cosx=0
(c(*)' sin^2(x))/cosx-2sinx/cosx=0
(c(*)' sin^2(x))/cosx=2sinx/cosx
dc(*)/dx=2sinx/sin^2(x)
dc(*)=(2sinx/sin^2(x)) dx
dc(*)=(2/sinx) dx
c=2*интеграл от (dx/sinx)
интеграл от (dx/sinx) не понял как находить этот интеграл

По моему Вас плющит не по детски



Для вычисления интеграла вправой части внесите под знак дифференциала cosy





dP/(P+1)=ctgx dx
ln(p+1)=ln C1sinx
p=C1sinx-1

y"=C1sinx-1
y'=int (C1sinx-1) dx=-C1cosx-x+C2
y=int (-C1cosx-x+C2) = -c1sinx-x^2/2+C2x+C3

тогда в 1-ом примере получится
PdP= (-32*sin(y)*cos^3(y))dy
PdP=1/3 (-32*sin(y))dsin^3(y) я не уверен что dsin^3(y)

Где я Вам написал, что под дифференциал нужно вносить sin y?

у меня глюки:)
PdP= (-32*sin(y)*cos^3(y))dy
PdP= (-32*cos^3(y))dcosy

Как такое получили7

Я ввёл siny под знак дифференциала и получил dcosy , а нужно ввести cosy, и получить PdP= (-32*sin(y)*cos(y))dsiny, я что-то не помню введение под знак дифференциала надо вспомнить.

dcosy/dy=-siny, dy=dcosy/(-siny) и потставляем это вместо dy

Что получилось?

PdP=(-32siny*cos^3(y))*dcosy/-siny
PdP=(-32sinycos^3(y)*dcosy)/-siny
P^2/2=32cos^3(y)dcosy
P^2=2*32*cos^4(y)/4
P^2=16cos^4(y)
P=4*cos^2(y)

P^2/2=8cos^4(y)+C1

P^2/2=8cos^4(y)+C1
P=4cos^2(y)+c1
далее dy/dx=(4cos^2(y))=>int dy/4cos^2(y) = int dx

P^2/2=8cos^4(y)+C1
P=sqrt(16cos^4(y)+c1)

В задании есть начальные условия?

начальные условия y(0)=0 и y'(0)=4


dy/dx=(4cos^2(y))=>int dy/4cos^2(y) = int dx это правильно?

Как такое получили?

в самом начале делали замену
y'=dy/dx=P
y''=dP/dx=PdP/dy

я вроде написал
P=sqrt(16cos^4(y)+c1)
dy/dx=sqrt(16cos^4(y)+c1)

Каким образом у Вас получилось
dy/dx=(4cos^2(y))=>int dy/4cos^2(y)

забыл про С1, тогда надо находить интеграл от корня
sqrt(16cos^4(y)+c1)dy=dx

здесь нужно делать замену для отыскания интеграла? 1/cos^2(y)=1+tg^2(y), а дальше tg^2(y)=t

Не вычислите Вы такой интеграл при произвольном с1

y'=sqrt(16cos^4(y)+c1)
y(0)=0 и y'(0)=4

4=sqrt(16+c1), c1=0 тогда

y'=sqrt(16cos^4(y))
y'=4cos^2(y)

дальше интегрируйте

Всё сделал dy/dx=4cos^2(y) => dy/4cos^2(y)=dx =>x=1/4 *tgy

x=(1/4) tgy+С2 теперь С2 ищите и запишите частное решение

x=(1/4) tgy+С2 при у(0)=0, то получается 0=0+C2, C2=0

Ну да.

частное решение x=(1/4) tgy это правильно?

В принципе да, можно и y выразить

Ура! Большое спасибо за помощь и терпение!