помогите решить или хотя бы подскажите начальные преобразования
lim x->0 (sin14x-sin11x)/tg5x

lim x->0 [(1+8xsin4x)^1/2 - (cos8x)^1/2] / [tg(x/2)]^2

Ответы 3/5 и 128 соответственно

Используйте эквивалентные бесконечно малые.
Например,
lim x->0 (sin14x-sin11x)/tg5x=lim x->0 (14x-11x)/5x=3/5

Вообще-то заменять беск. малые на эквивалентные можно только в произведении и частном.
В сумме-разности нельзя. Это МОЖЕТ привести к неверному ответу (но в данном примере не привело - повезло). Поэтому для корректности надо сначала разность синусов превратить в произведение, а потом уж...

а что делать со 2м случаем?
или он клинический :-)

lim x->0 (sin14x-sin11x)/tg5x=lim x->0 [2cos(25x/2)sin(3x/2)]/tg(5x)=эквив.=lim x->0 [cos(25x/2)3]/5=3/5
так можно?

lim x->0 (sin14x-sin11x)/tg5x=lim x->0 [2cos(25x/2)sin(3x/2)]/tg(5x)]=эквив.
= 2*lim x->0 [cos(25x/2)*(3x/2)]/5x]=2*(3/2)/5*lim x->0 [cos(25x/2)]=2*(3/2)/5*1=3/5
так можно!

пасиба за помощь
а что со вторым примером?

Там более громоздко.
lim x->0 [(1+8xsin4x)^1/2 - (cos8x)^1/2] / [tg(x/2)]^2

Можно сразу заменить [tg(x/2)]^2 на (x/2)^2.
Числитель и знаменатель умножить на сумму корней (которые в числителе) и получить формулу разности квадратов в числителе.
Потом формулу применить 1-cosa=2*[sin(a/2)]^2, вынести sin(4x) ...
Дальше попробуйте сами.

тупик
lim x->0 [32/x] * lim x->0 [sin(4x)+4x]/[(1+8xsin(4x))^1/2 +(cos(8x))^1/2 ]
со знаменателем все в норме
что делать с числителем? сумму преобразовать к эквиваленту? с ответом сходиться. Вопрос - можно ли так делать?

Вот вариант решения. Вы конечно можете решить по другому, если он не устраивает.

lim x->0 [32/x] * lim x->0 [sin(4x)+4x]/[(1+8xsin(4x))^1/2 +(cos(8x))^1/2 ]
правильность этого выражения не проверял. Как дальше.
Не надо разлагать в произведение пределов. Внесите 1/х в скобки и воспользуйтесь первым замечательным пределом:

Фрагмент предела:
(1/x)*(sin(4x)+4x)=[sin(4x)/x]+4
первое слагаемое стремится к 4.

Дима, я уже говорил о том, что:
"Вообще-то заменять беск. малые на эквивалентные можно только в произведении и частном.
В сумме-разности нельзя. Это МОЖЕТ привести к неверному ответу (но в данном примере не привело - повезло)."

В качестве примера неверного ответа:

lim(x->0) [x-sinx]/x^3

заменив sinx на х, получив в ответе 0.
Но он неверен (проверить правилом Лопиталя).

Спасибо, я тоже пришел к такому решению сегодня ночью :-)