Добрый вечер! Вот имеется такое задание: найти общий член последовательности, заданной рекуррентно: x[n+1]=(x[n]+1)/(n+1), x[1]=0.
Заменой y[n]/n свели к последовательности y[n+1]=y[n]/n+1.
Для однородной последовательности y[n+1]=y[n]/n формулу нашли: y[n]=(n-1)!
Как поступить в случае неоднородной последовательности?

Скорее,всё-таки y[n]=1/(n-1)!
Можно,наверно,поступить так:
y[n]=c[n]/(n-1)!
Тогда y[n+1]=c[n+1]/n! = 1+c[n]/n!, откуда с[n]+n!=c[n+1]

точно, именно так и есть. Пропустила. Данке.

спасибки, пошла думать.

П.С. А где по подобным заданиям можно теории посмотреть, а то что-то поисковики данный вопрос никак... Или я не там...

Не имею ни малейшего понятия...Решал исключительно своими силами, без книжек))

ясно, спасибо

Не за что:)

Рекуррентные соотношения первого порядка разобраны в "Конкретной математике".

x_n=\frac{1!+2!+ ... +(n-1)!}{n!}

спасибо большое, посмотрим, почитаем.

Спасибо! А немного подробнее можно?Хотя бы схемку...

Как доказать или как догадаться?

Доказать - по индукции, а догадаться что именно доказывать ... в общем тоже по индукции. Ясно, что x_n - дробь. Из реккурентности очевидно, что знаменатель этой дроби (если не сокращать на возможный общий множитель с числителем) - это n! Полагая x_n=y_n/n! получим y_{n+1}=y_n+n! откуда все ясно и с числителем.

хм... Т.е. общей схемы не имеется для получения ответа?

А какое тут может быть обобщение? Рекуррентность имеет вид x_{n+1}=a_n*x_n+b_n, с заданными a_n и b_n. Ничего особенного не придумаешь (да и незачем) как выражать через предыдущий, потом через предпредыдущий, предпредпредыдущий ..., раскрыть и получится понятно какая сумма. Если a_n и b_n какие-нибудь особенные, то возможно упрощение.

ясно,, спасибо