Помогите, пожалуйста, найти длину дуги кривой
x = 3 * (1 + cos t) * cos t; y = 3 * (1 + cos t) * sin t

В этом номере -pi <= t <= pi.
Используем формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной параметрически:
L = int (a b ) ((x')^2 + (y')^2)^(1/2) dt
Тогда получаем следующее.
x' = (3 * (1 + cos t) * cos t)' = (3 * cos t + 3 * cos^2 t)' =
= 3 * (-sin t) + 3 * 2 * cos t * (-sin t) = -3 * sin t - 3 * sin 2t
y' = (3 * (1 + cos t) * sin t)' = (3 * sin t + 3 * sin t * cos t)' =
= 3 * cos t + (3/2 * sin 2t)' = 3 * cos t + 3/2 * 2 * cos 2t = 3 * cos t + 3 * cos 2t
(x')^2 = (-3 * sin t - 3 * sin 2t)^2 = 9 * sin^2 t + 9 * sin^2 2t + 18 * sin t * sin 2t
(y')^2 = (3 * cos t + 3 * cos 2t)^2 = 9 * cos^2 t + 9 * cos^2 2t + 18 * cos t * cos 2t
(x')^2 + (y')^2 = 9 * sin^2 t + 9 * sin^2 2t + 18 * sin t * sin 2t + 9 * cos^2 t +
+ 9 * cos^2 2t + 18 * cos t * cos 2t = 9 + 9 + 18 * sin t * sin 2t + 18 * cos t * cos 2t =
= 18 + 18 * (sin t * sin 2t + cos t * cos 2t)
cos ( a - b ) = cos a * cos b + sin a * sin b
В нашем случае a = t, b = 2t
Тогда
(x')^2 + (y')^2 = 18 + 18 * cos (t - 2t) = 18 + 18 * cos (-t) = 18 + 18 * cos t
L = int (-pi pi) (18 + 18 * cos t)^(1/2) dt =
= int (-pi pi) (18 + 18 * (2 * cos^2 (t/2) - 1))^(1/2) dt =
=int (-pi pi) (18 + 36 * cos^2 (t/2) - 18)^(1/2) dt =
= int (-pi pi) (36 * cos^2 (t/2))^(1/2) dt =
= 6 * int (-pi pi) |cos (t/2)| dt
Так как -pi <= t <= pi => -pi/2 <= t/2 <= pi/2, тогда cos (t/2) >= 0 =>
=> |cos (t/2)| = cos (t/2)
L = 6 * int (-pi pi) cos (t/2) dt = 6 * (2 * sin (t/2))_{-pi}^{pi} =
= 6 * (2 * sin (pi/2) - 2 * sin (-pi/2)) = 6 * (2 + 2) = 24.
Ответ: L = 24.

Спасибо огромное!!

Awesome site i love it keep posting more! Click here