Хм... попался пример

xdx+ydy=(xdy-ydx)/(x^2+y^2),

не могу раскусить. Свела подобные, получила такое:
(x^2y+y^3-x)dy=-(x^3+xy^2+y)dx
Похоже на уравнение в полных дифференциалах, но не оно. Подскажите, что можно сделать. Спасибо.

У меня вот что получилось.
Сделаем две замены: z=x^2 + y^2 и t = y/x. Тогда
dz/2 = x*dx + y*dy;
dt = (x*dy - y*dx)/(x^2) и подставим в уравнение:
dz/2 = (x^2*dt ) / (z)
Кроме того, y = t*x -> z = x^2 *(1+t^2) -> x^2 = z/(1+t^2)
Получим:
z*dz/2 = dt * z/(t^2+1)
Поскольку z<>0, можем на него сократитить,в итоге поучим:
dz/2 = dt/(t^2 + 1)
z = 2*arctan(t) + C
x^2 + y^2 - 2*arctan(y/x) = C
Как-то так

Граф, спасибо! Буду разбираться.

Почему не оно?
Слева - дифференциал от (x^2+y^2)/2, справа - от арктангенса отношения.

Спасибо.

Объясните,пожалуйста, как вы так решили,потому что я не поняла. Можно как-нибудь по-подробнее описать?

Да куда же еще подробнее. Что конкретно непонятно?

откуда берется t = y/x.?

Это замена. Или в чем вопрос?

Так у нас нет такого в примере
xdx+ydy=(xdy-ydx)/(x^2+y^2),,

Но зато есть производные введенных функций (граф это увидел)

Или посмотрите на это уравнение как на ДУ в полных дифференциалах.

это слева и получается тогда (x^2+y^2)/2, а как преобразовать то что справа

Перенесите все влево и соберите подобные при dx и dy соответственно.

Получается вот так
(x^2y+y^3-x)dy=-(x^3+xy^2+y)dx

Да, но так это не будет уравнением в полных дифференциалах,потому что dP/dy не равно dQ/dx. Но, если Вы присмотритесь к исходному уравнению, то увидите,что справа стоит дифференциал от арктангенса отношения, как уже было замечено V.V.. Поскольку сходу сделать такой вывод - довольно нетривиально, но есть xdy-ydx, которое есть в d(y/x), я и решил,что стоит сделать такую замену.

спасибо большое,теперь все понятно