Не нашел нигде ссылок как можно вычислить объем, если функция задана параметрически. Так верно?

Ну если не нашли, то проявите тогда инженерную сообразительность. из 1го уравнения выразите t и подставьте во второе. Получите функцию y(x)

найти то нашел, int(cos^3x) берется, просто хотелось узнать является ли верным сам подход
и ещё: по условию дано и интервал по y и интервал по t. а зачем? ведь одно можно выразить через другое, вот это насторожило

Потому что если бы не было задано пределов по у,Ваша фигура вращния имела бы "дырки"сверху и снизу,и даже не была бы фигурой вращения,а только поверхностью.

Так как функции cos t и sin t периодические, то
из условий y = 4 * sin t + 2, y = 4, y = 6, мы получаем, что
4 <= 4 * sin t + 2 <= 6
2 <= 4 * sin t <= 4
1/2 <= sin t <= 1
Получаем t [pi/6 + 2 * pi * n; 5 * pi/6 + 2 * pi * n]
Будет много участков для t, поэтому было введено условие
pi/6 <= t <= pi/2
Идея правильная. Применяем формулу:
V_y = 2 * pi * int x * y dx
Тогда получаем, что
V_y = 2 * pi * int (pi/6 pi/2) 3 * cos t * (4 * sin t + 2) * (-3 * sin t) dt
Формула
V = pi * int y^2 dx - это для вращения вокруг оси Ох
Хотя может что-то где-то и напутал... Наверное лучше построить график и посмотреть...
Либо действительно выразить у через х и применить стандартную формулу.

Спасибо!
Попробую двумя способами. Теоретически результат должен получиться одинаковый.

А откуда такая формула?

Во всех учебниках
V_y=pi * int x^2 dy

или это именно для параметрической функции?

Просто две формулы есть. Одна с dy, а другая с dx.