Здравствуйте все!
Всех поздравляю с прошедшим.
Собственно по делу, помогите решить интеграл:
int sqrt(1-sqrt(x))/sqrt(1+sqrt(x)) dx
Вообщем-то в начале взял за x=t^4 получил следующее:
4*int (1-t)/(1+t) * t^3 dt
Подскажите пожалуйста, что делать дальше. Спасибо.

Подробнее, пожалуйста, распишите, как после замены привели к такому виду.

int sqrt(1-sqrt(x))/sqrt(1+sqrt(x)) dx = |x=t^4 dx=4*t^3dt|=int((1-t)/(1+t))*4t^3dt

Что касается именно этого интеграла, то здесь надо выделять целую часть.



Ну если честно, то это не очень подробно.
Итак, если x=t^4, то sqrt(x)=t^2. Так? Тогда sqrt(1-sqrt(x))=sqrt(1-t^2), аналогично sqrt(1+sqrt(x))=sqrt(1+t^2). А у вас не так получилось.

Подскажите, каким образом? Что-то я уйму не приложу как из
((1-t)/(1+t))*t^3 dt

((1-t)/(1+t))*t^3=(-t^4+t^3)/(1+t). Далее делим в столбик или "уголком" многочлен на многочлен.

я брал x=t^4 надеясь избавиться сразу от двух корней



так это я уже что-то туплю)

Мне не понятно как вы избавились, поэтому еще раз распишите ваши действия.

честно говоря, помойму я сглупил) вообщем я не правильно наупращал. Ваш вариант с sqrt(1-t^2)/sqrt(1+t^2) является правильным, вот только подскажите как дальше действовать?

т.е.?

это я понял, а как быть если у нас sqrt(1-t^2)/sqrt(1+t^2)?

Я бы делала так: сначала замена x=t^2, далее числитель и знаменатель домножила бы на корень, стоящий в числителе, интеграл приводится к виду: многочлен деленный на корень. Далее по формуле, кажется Чебышева. СМотрите в Демидовиче номера, начиная с 1943, а также формулу перед ними.

Ок, спасибо большое, но попробую уже завтра, а то сейчас ничего не получится, т.к. сонный уже. Завтра отпишусь, как получилось.

Пожалуйста, пробуйте. Спокойной ночи.

П.С. Может можно как-то и иначе, но как, я не вижу.

Доброе утро,
вообщем попробовал я взять,
что у меня получилось:
2*int sqrt(1-t)/sqrt(1+t) tdt = 2*int ((1-t)/sqrt(1-t^2)) tdt=
2*int t*(1-t)^3/2 dt
p=3/2
n=1
m=1
1-t=z^2

а вот что дальше делать я не понял, с чебышёвым не разобрался, с какой главы смотреть, просто у меня печатного издания нет, только в электроном виде.

вообщем сейчас ещё раз попробовал, получилось следующее:
-4*int(1-z^2)*z^4 dz

sqrt(1-t^2) не равен (1-t)^3/2.

Это вы похоже смотрите биномиальный дифференцивл. Можно и его, но мне кажется будет проще по другому. Посмотрите здесь, ст. 8.

значит будет просто 2*int t*sqrt(1-t) dt ?

Хм... Будет просто (-t^2+t)*(1-t^2)^(-1/2).

Вы ссылочку посмотрели?

Да посмотрел, вообщем так:
2*int (-t^2)/sqrt(1-t^2) dt = (At^2+Bt)*sqrt(1-t^2) + y*int dt/sqrt(1-t^2)

так надо сделать? или (At^2+Bt+C) ?

Итак, имеем интеграл 2*int ((-t^2+t)/sqrt(1-t^2))dt=(At+B)sqrt(1-t^2)+ y*int dt/sqrt(1-t^2)
В правой части первое слагаемое: многочлен степени на 1 меньше, чем многочлен в числителе подынтегральной функции. Далее левую и правую часть полученного равенства дифференцируем по х.

или разбиваем на 2 интеграла
2*int ((-t^2+t)/sqrt(1-t^2))dt = 2t/sqrt(1-t^2)) + (-2t^2)/(sqrt(1-t^2)))=J1+J2
J1 решается внесением под знак дифференциала t^2
J2 решается через подстановку t=siny

Или так.

после дифференцирования:
2*((-t^2 + t)/sqrt(1-t^2))=A*sqrt(1-t^2) + (At+B )*(-t)/sqrt(1-t^2) +
y/sqrt(1-t^2)
после доумножения на sqrt:
-2t^2+2t=A*(1-t^2) - At^2 -Bt + y
отсюда:
A=1
B=-2
y=-1
подставляю:
2*int(-t^2+t)/sqrt(1-t^2) dt=(t-2)*sqrt(1-t^2) - int dt/sqrt(1-t^2) =
(t-2)*sqrt(1-t^2) - arcsin(t) + c
т.к x^2=t =>
= (x^2 - 2)*sqrt(1-x^4)- arcsin(x^2) + c

Правильно?)

очень похоже на правду

Где такое взяли?

Для проверки продифференцируйте ответ. получите подынтегральную функцию?

ой, перепутал x=t^2
тогда ответ:
(sqrt(x)-2)*sqrt(1-x)-arcsin(sqrt(x)) + c ?

Вроде теперь так.

поясните, что вы говорили про проверку, найти производную от ответа?

Да, если после преобразований получите подынтегральную функцию, то все сделано верно.