Помогите разобраться, либо найти ошибку
Исследовать функцию:
y=e^(1/x)
Определяем интервал возрастания и убывания. Находим первую производную:
y'=(-1/(x^2))*e^(1/x)
Решаем уравнение -1/(x^2)=0
критических точек нет
Вопрос: А какие здесь интервалы возрастания и убывания?
Находим вторую производную:
y''=(e^1/x)*(2/x^3+1/x^4)
2/x^3+1/x^4=0
x=0, x=-0.5
на интервале (оо, -0,5) - функция выпукла, а вот вогнутость я определить, что-то не могу.

y'<0 на всей области определения, т.е. функция убывает на всей области определения.
функция вогнута на (-0,5;0) и (0;+00)

Извините, может, не в ту тему вопрос написала сначала, поэтому пишу здесь.Известно, что существует lim(x->0)((f(4+x)-5)/x). Нужно выделить правильные утверждения:
1) f(x) непрерывна при х=4
2) f(x) дифференцируема при х=4
3) lim(x->4)f(x)=5
Объясните пожалуйста, а то сам ответ у меня есть, но почему так,я не понимаю(

Если существует предел функции a(x) и существует предел функции b(x), то существует предел произведения
a(x)b(x)
a(x) - дробь в условии, b(x)=x и 3) выполняется автоматически:
lim(x->0)(a(x)b(x))=lim (x->0) a(x) * lim(x->0) b(x) = lim (x->0) a(x) * lim(x->0) x =lim (x->0) a(x) * 0 = 0
Значит, lim(x->0)(f(4+x)-5)=0 ==> lim(x->0)f(4+x)=5, т.е. lim(x->4)f(x)=5
Что касается ответов 1) и 2), то вот пример, когда эти условия не выполняются:
f(x)=5 при x не равном 4 (т.е. точка x=4 выколота) - о непрерывности и уж тем более о дифференцирумости в точке x=4 говорить не имеет смысла, хотя исходный предел существует и равен lim(x->0) (f(x+4)-5)/x = 0, потому что в любой окрестности точки 0 (в которой, разумеется, выколота сама точка 0) числитель равен 0

Спасибо Вам большое, Ваш пример я поняла, но для окончательного прояснения ситуаци для меня, не могли бы Вы объяснить мне ошибку такой логики: так как предел указанного выражения существует при стремлении к 0, а в знаменателе х, мы имеем неопределенность 0/0, действуем по правилу Лопиталя, получаем, что lim(x->0)f'(4+x) существует, почему этого недостаточно для существования производной?

ну я же привел пример, когда производная в этой точке не существует и правило Лопиталя применять нельзя, потому что требуется дифференцируемость именно в этой точке...

Можно подытожить: условия 1) и 2) могут выполняться, а могут и не выполняться...
Но выполняться всегда они не обязаны, а вот 3-е условие ДОЛЖНО выполняться

не понял, что тут непонятного?
да и вроде как неопределенности не всегда раскрываются с помощью правила Лопиталя
Например, можно пользоваться заменой числителя и знаменателя на эквивалентные бесконечно малые
Можете посмотреть на сайте http://www.reshebnik.ru решения задач из Кузнецова --> раздел пределы http://www.reshebnik.ru/solutions/1 - там должны быть решения на этот метод