Найти неопределенный интеграл и проверить результат дифференцированием:
int ((x^2*e^(3x))dx)

Решение:
int ((x^2*e^(3x))dx)
Положим u=x^2, v'=e^(3x). Тогда u'=2, v=(1/3)e^(3x).
По формуле: int ((u*v')dx)=u*v- int ((u'*v)dx)
исходный интеграл запишется в виде:
int ((x^2*e^(3x))dx)=x^2*(1/3)e^(3x)-int((2*(1/3)e^(3x))dx)=
=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/3)*int((e^(3x))dx)=
=(1/3)*x^2*e^(3x)-(1/3)*e^(3x)+c

верно?
а как сделать проверку?

Как u' находили? Найдено неверно.

продифференцировать полученный ответ.

теперь правильно? u'=2х

Да, теперь правильно.
Теперь расскажите, как из

получили
.

=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/3)*int((хe^(3x))dx)=
=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/3)*(1/3)*х*e^(3x)+c=
=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/6)*x*e^(3x)+c

верно?

Почему int((хe^(3x))dx)=(1/3)*х*e^(3x)+c? Это вы вычислили интеграл, когда подынтегральная функцифя не содержит х. Этот интеграл надо еще раз по частям взять.

Положим u=x, v'=e^(3x). Тогда u'=1, v=(1/3)e^(3x).

...=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/3)*int((хe^(3x))dx)=
=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/3)*x*(1/3)*e^(3x)-(1/3)*int((e^(3x))dx)=
=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/6)*x*e^(3x)-(1/3)*(1/3)*e^(3x)+c=
=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/6)*x*e^(3x)-(1/6)*e^(3x)+c

ну как?

Ну проверьте результат дифференцированием. Если получите Ваш интеграл в начальной форме, то решили правильно. Если нет, то - нет.

Ответ такой должен получится: (9x^2-6x+2)e^(3x)/27

int((x^2*e^(3x))dx)=x^2*1/3*e^(3x)-int((2x*1/3*e^(3x))dx)=
=1/3*x^2*e^(3x)-2/3*int((x*e^3x))dx=
zamena u=x, v'=e^(3x) => u'=1, v=1/3*e^(3x)
=1/3*x^2*e^(3x)-2/3*(x*1/3*e^(3x)-int*((1/3*e^(3x))dx=
=1/3*x^2*e^(3x)-2/3*(1/3*x*e^(3x)-1/3int((e^(3x))dx=
=1/3*x^2*e^(3x)-2/3(1/3*x*e^(3x)-1/3*1/3*e^(3x))=
=1/3*x^2*e^(3x)-2/3(1/3*x*e^3x-1/3*e^(3x))=
=1/3*x^2*e^(3x)-2/9*x*e^(3x)+2/27*e^(3x)=
=(e^(3x)*(9x^2-6x+2))/27+с

Ура, получили.
Еще +С в конце.

Проверка:
[1/27*e^(3x)(9x^2-6x+2)+с]'=
=[1/27*e^(3x)*9x^2-1/27*e^(3x)*6x+1/27*e^(3x)*2]'=
=[1/27*e^(3x)*9x^2]'-[1/27*e^(3x)*6x]'+[1/27*e^(3x)*2]'=
=[1/27*e^(3x)*(9x^2)'+9x^2*1/27*e^(3x)']-[1/27*e^(3x)*(6x)'+6x*1/27*e^(3x)']+[2/27*e^(3x)]'=
=[1/27*e^(3x)*18x+9x^2*1/27*(3x)'*e^(3x)]-[1/27*e^(3x)*6+6x*1/27*(3x)'*e^(3x)]+[2/27*(3x)'*e^(3x)]=
=[18/27*x*e^(3x)+27/27*x^2*e^(3x)]-[6/27*e^(3x)+18/27*x*e^(3x)]+6/27*e^(3x)=
=18/27*x*e^(3x)+x^2*e^(3x)-6/27*e^(3x)-18/27*x*e^(3x)+6/27*e^(3x)=
=x^2*e^(3x)

все сошлось!

Даже страшно представить, что такое возможно.

СПАСИБО ОГРОМНОЕ ЗА ПОМОЩЬ!!!