Добрый день, есть промоделированные результаты выполнения некой функции. В результате 1000 итераций получена выборка. Предлоложительно выборка подчиняется нормальному закону распределения, разумеется это надо доказать. Проштудировав набор литературы я выяснил, что для этого нужно расчитать критерий хи квадрат(критерий Пирсона). Для подсчета критерия мне нужны эмпирические частоты выборки и теоретические частоты выборки. Если с первыми все понятно, то про то, как найти вторые я понятия не имею(везде есть формулы, но примеры я нашел только для равномерного распределения). Почитал вот тут http://www.prepody.ru/topic4146.html про подобную задачу, но совершенно не понял как в данном примере нашли показатели теоретической частоты.

Прежде всего, Вам нужно построить интервальный ряд.
Построение интервального вариационного ряда распределения включает следующие этапы.
1. Определение среди имеющихся наблюдений минимального и максимального значения признака.
2. Определение размаха варьирования признака
R= xmax -xmin
3. Определение длины интервала по формуле Стерджеса:
h=R/(1+3,32*lgn), где n – объем выборки
4. Определение граничных значений интервалов (ai ; bi).
Так как xmin и xmax являются случайными величинами, рекомендуется отступить влево от нижнего предела варьирования (xmin).
За нижнюю границу первого интервала предлагается принимать величину, равную xmin-h/2
Если оказывается, что a1<0, хотя по смыслу величина Х не может принимать отрицательные значения, то приниют a1=0.
Верхняя граница первого интервала b1= a1+h. Тогда, если bi - верхняя граница i-го интервала (причем a(i+1)=bi), то b2=a2+h, b3=a3+h и т.д. Построение интервалов продолжается до тех пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет равным или больше xmax.
5. Группировка результатов наблюдения
Подсчитываете, сколько значений попало в каждый интервал.
Можно вручную, предварительно ранжировав данные, можно с помощью функции ЧАСТОТА Excel.
Это и будут эмпирические частоты.
Вы построили интервальный ряд.
Прошу прощения, увлеклась эмпирическими - у Вам с ними и так все понятно..

Теперь по формулам нормального закона распределения, с помощью функции Лапласа, находите вероятность попадания в каждый интервал, умножаете на n, округляете - и получаете теоретические частоты. За математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение принимают их выборочные характеристики - среднее арифметическое и выборочное среднеквадратическое отклонение.

Ну, и наконец, с помощью критерия согласия Пирсона проверяете, подчиняется ли Ваша выборка проверяемому закону распределения.

Ps а можно легко и быстро прогнать данные в каком-нибудь хорошем статистическом пакете (раз это Вам нужно как промежуточный результат) - например, Stаtistica или SPSS, и за 1 минуту получить и критерий Пирсона, и критерий Колмогорова-Смирнова.. А заодно попробовать подогнать и другие распределения...

Спасибо большое, я вроде бы решил, правда не был уверен в правильности решения, но вы развеяли сомнения. У меня получилась в итоге вот такая таблица:

99,779 102,98 64 0,06028913+0,00571849 60,28912994 0,228408614
102,98 104,58 92 0,093876326 93,87632608 0,037502528
104,58 106,18 171 0,154427009 154,4270087 1,778601051
106,18 107,78 200 0,196698547 196,6985475 0,055412655
107,78 109,38 184 0,194001436 194,0014355 0,515608108
109,38 110,98 159 0,14816106 148,1610597 0,792938627
110,98 112,59 64 0,087989415 87,98941508 6,540468932
112,59 117,39 66 0,057865679+0,000972908 57,86567879 1,143461599
Хи квадрат в итоге: 11,09240211
Хотелось бы выяснить, правильно ли я все делаю.
Первый и второй столбцы - это диапазоны в выборке. Третий столбец - эмпирические частоты. Четвертый столбец - это теоретическая вероятность расчитаная по формуле: НОРМРАСП(значение диапазона из второго столбца;среднее арифметеское выборки;стандартное отклонение выборки;1)-НОРМРАСП(начение диапазона из первого столбца;среднее арифметеское выборки;стандартное отклонение выборки;1). Соответственно в пятом столбце - теоретические частоты(произведение объема выборки на вероятность). Последний столбец - критерий хи квадрат, по формуле: (Третий столбец - Пятый столбец)^2/Пятый столбец. В итоге получается искомое значение: 11,09240211.
Теперь у меня ряд вопросов: В теме, которую я просмотрел(ссылку я приводил) сказано, что нужно добавлять к этому еще 2 интервала, у меня они расчитаны как НОРМРАСП(99,779;среднее арифметеское выборки;стандартное отклонение выборки;1) и 1-НОРМРАСП(117,39;среднее арифметеское выборки;стандартное отклонение выборки;1). Я прибавляю эти вероятности к значению последнего и первого столбца, после этого сходится сумма теоретических вероятностей и кол-во операций(1000). Подскажите в таком случае у меня количество интервалов будет составлять 10 или все таки 8? И для определения степеней свободы мне нужно отнимать от кол-ва интервалов - 2 или 3?
То есть я смотрю критическое значение хи квадрата для значения а=0,05 и r=5 или r=7? Подскажите как правильно определить степени свободы?

Плюс такой вопрос. Мой научный руководитель, сказал, чтобы после расчета хи квадрата, я просчитал время выполнения моих функций с помощью функции Ла-Пласса. Как я понял - НОРМРАСП - это и есть эта функция, только вот, что я должен с ее помощью посчитать? И главное как? Вероятность выполнения моей функции за определенное время с какой-то вероятностью? Как это правильно сделать?
P.S. Извиняюсь заранее за может быть дурацкие вопросы, но теорией вероятности мне пришлось заняться спустя 5 лет после того, как я закончил универ, поэтому и разбираться приходится заново и почти с нуля.

Число степеней свободы=число интервалов - число оцениваемых по выборке параметров распределения (у нормального их 2)-1. Поэтому у Вас
Число степеней свободы=число интервалов - 3.

У Вас очень тяжело разобраться в Ваших записях, лучше табличку дать как картинку, а то не очень понятно... И какие у вас получились среднее и ско?

Вообще, посмотрела -все похоже на правду.. Вот только насчет прибавления 2-х интервалов тоже не поняла - что имеется в виду.
Для того, чтобы сумма частот была равна исходной. нужно теоретическую кривую строить на всей числовой оси - т.е. за первое значение первого интервала и за последнее значение последнего интервала принимать не их значения, а соответственно плюс и минус бесконечность. Тогда все обычно получается...
А, видимо, того же и добиваются тем, что Вы сказали..



Лаплас (Laplace) Пьер Симон (1749-1827), французский астроном, математик, физик, иностранный почетный член Петербургской АН (1802).

Функция Лапласа имеет разные виды, я тут в какой-то теме приводила.... вот: http://www.prepody.ru/topic5367s20.html

Не очень поняла. что Вам надо с её помощью просчитать.. Это функция, с помощью которой находятся значения функции распределения и любые вероятности попадания в интервал для нормальной СВ.

Спасибо, еще раз за помощь, по поводу интервалов - все вы сказали верно, у меня сошлись и вероятности и объем итераций. Вопрос остался только по функции Лапласа, я просмотрел варианты, которые вы описывали в теме по ссылке. Мне нужен второй вариант формулы(судя из того задания, что мне дали). Только вот задачу мне поставили, а сам я ее понять до конца не могу. Я получаю на основе эмпирических данных - параметры(такие как мат. ожидание, скво, дисперсия), я подтвердил с помощью критерия Пирсона, что распределение у меня нормальное. Придя с этими результатами мне сказали - иди считай вероятность, по функции Лапласа. Я имею ряд параметров и полное непонимание куда эти параметры подставлять. Как я понял, мне необходимо определить с какой долей вероятности будет выполнятся мой процесс в определенном интервале времени. Подскажите как мне подсчитать эту вероятность? Могу привести для примера параметры: 103,976 - это мат. ожидание; 2,024 - скво; 4,098 - дисперсия. Интервалы времени я должен определять самостоятельно? То есть допустим время выполнения пусть будет от 100 до 105 мс. Это как я понимаю в приведенных функциях будет X, тогда я смогу рассчитать значение в скобках, то бишь (105-103,976)/4,098=0,2498, теперь вопрос как мне искать значение Ф(0,2498)? И как эти значения применять для расчета вероятности попадания значения в заданный интервал?

Интересно, как же Вы посчитали теоретические вероятности, если не разобрались, как их считать??? Точно также можно считать и любые вероятности, включая приведенную Вами... Либо с помощью НОРМРАСП Excel, либо, раз Вам так и сказали - берете значения t_i=(x_i-m(x))/ско , открываете в Ваших учебниках таблицу функции Лапласа, и ищите значения для найденных t - это, собственно Вы и должны были делать при расчете теоретических частот. Вероятность попадания в интервал - разность функций распределения в этих точках, и, если Вы используете функцию Лапласа второго типа, то вероятность равна разнице функций Лапласа в соотв. значениях t (например, 0,25, как Вы посчитали - правда, там ошибка - делить надо не на дисперсию, а на ско).

в том, то и дело, что приходится делать все самому, а смотреть работу по серьезному - будет лишь рецензент(хорошо, хоть пробная рецензия будет), по поводу ошибки в формуле - понял, про функции Exel НОРМРАСП я догадывался, но подозрение ни есть уверенность, спасибо, что просветили. Подскажите верно ли писать, что я использую для расчета вероятности приведенную формулу: F(x) = 0,5 + Ф((x-m(x))/ско), а сам буду пользоваться для расчета функцией НОРМРАСП?

Ещё раз - а как Вы считали теоретические частоты?? Что-то я стала сомневаться...

F(x) - это функция распределения - вероятность того, что случайная величина окажется меньше рассматриваемого значения х: F(x)=P(X<x).
Формула приведена Вами верно для функции Лапласа по Вашей формуле.
F(x) и вычисляет функция НОРМРАСП при последнем значении 1.

Вероятность попадания в интервал:
P(a<X<b)=F(b )-F(a)=Ф((b-m(x))/ско) - Ф((a-m(x))/ско)

Теоретические частоты я считал исходя из описания приведенного на форуме. То есть по вот такой формуле: =НОРМРАСП(F5;$E$2;$F$2;1)-НОРМРАСП(E5;$E$2;$F$2;1). Где F5 - верхняя граница интервала, E5 - нижняя граница интервала, E2 и F2 - среднее значение и ско соответственно. Применял я такую формулу по принципу - давайте посчитаем, вдруг получится(вообщем занимался реверс инжинирингом, пытался получить нужный результат не зная точно механизма) полученные результаты вероятности, а также позже посчитаный критерий Пирсона, вроде бы подтвердил, что я нашел правильный вариант(просто это была уже 8-ая или 9-ая система расчетов). Соответственно, чтобы найти нужную мне вероятность, мне можно воспользоваться либо функцией Exel НОРМРАСП, либо расчетом значений и вычислением по табличным значениям функции Лапласа. Просто мне в работе необходимо указать, какую формулу я использую для расчетов, и написать - что я использую формулу НОРМРАСП(b,m(x),ско,1) - НОРМРАСП(a,m(x)ско,1) я естественно не могу. Сейчас полезу где-нибудь искать таблицу функций Лапласа. Чтобы проверить наверняка, совпадает ли расчеты с помощью EXEL с табличными значениями

Ну да, все верно.. А формулу нужную я Вам уже написала - Вы её процитировали.. осталось - да, для собственного успокоения посмотреть таблицы функции Лапласа... (только после приведения формул приводите и вид той функции Лапласа, который Вы используете.. Т.к. от этого зависит и вид формулы для вероятности попадания в интервал.
Неизменным остается только свойство функции распределения:
Вероятность попадания в интервал:
P(a<X<b)=F(b )-F(a)

а уж через функцию Лапласа у всех по-разному (в зависимости от пределов интегрирования табличного интеграла)

Ну а считать можете так и продолжать с помощью Excel...

Спасибо за консультации, но пристану к вам еще раз, мне сказали, что я посчитал все вроде как нормально но не по той формуле, и дали вот такую формулу:
Px = 0,5 + F0( (T-Mt)/t )
где Mt = Сумма всех базовых операций входящих в состав моей функции, расчитаных по формуле: (tmin+4*tвер+tmax)/6

я расчитываю эту самое мат ожидание. Но дальше не могу понять, что за значение - T, мне говорят да бери в формуле t=T и считай..... причем говорит это мне мой руководитель, если в формуле приведенной вами все ясно и очевидно - то тут полный туман, я не могу понять, что за параметры брать и подставлять, ибо результаты все получаются в пределах 50% и вариируются там только копейки процентов.

Формула, Вами приведенная похожа на формулу функции распределения... Функция распределения показывает вероятность, что случайная величина не превысит значения х.
но вот дальше для меня не меньший, а даже больший туман, чем для Вас - это уже какая-то специфика идет... Надо все-таки попытать Вашего руководителя.. могу только предположить, что :
F0 - функция Лапласа, (T-Mt)/t - что-то типа нормировки, т.к. Mt представляет по приведенной вами формуле некое похожее на среднее время значение: (tmin+4*tвер+tmax)/6.
а эта величина по идее показывает, насколько отклоняется от него Т...
по вашим объяснениям, к сожалению, больше не могу понять..