Здравствуйте!
Подскажите, что это за обозначение такое 4Z/12Z ? Я знаю, что Z/12Z - аддитивная группа вычетов по модулю 12. Но здесь 4Z/12Z и это смущает.
И еще непонятна запись U12/U3 (12 и 3 - индексы), где Un это группа комплексных корней степени n из 1.

nZ - это аддитивная группа целых чисел, кратных натуральному числу n. Таким образом имеем группу G=4Z, а в ней подгруппу H=12Z и 4Z/12Z - это просто фактор-группа G/H. Легко сообразить, что она изоморфна группе Z/3Z.
Аналогично, U_12/U_3 - это фактор группы U_12 (циклическая порядка 12) по её подгруппе U_3. Эта фактор-группа изоморфна группе U_4.

Т.е. и Z/4Z изоморфна U_12/U_3.
А R*/R>0 - это фактор мультипликативной группы вещественных чисел по подгруппе вещественных положительных чисел?

Звёздочка стандартно используется для обозначения мультипликативной группы обратимых элементов ассоциативного кольца с единицей, так что здесь R* - группа по умножению ненулевых вещественных чисел.
А вот обозначение R>0 для её подгруппы положительных чисел вижу впервые.
Если бы Вы этого не сказали, то пришлось бы гадать, что же это такое кроется за сочетанием символов R*/R>0.
Ну, тогда R*/(R>0) очевидно указанный фактор.
Скока в этой фактор-группе элементов?