Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:
y=(x-2)^2/(x+1)

Решение:
1) Область определения функции:
y=(x-2)^2/(x+1) => х+1 неравно 0, х неравно -1, т.е. D(y)=(-бесконечности;-1) и (-1; +бесконечности).

2) y(-x)=(-x-2)^2/(-x+1)=-((x-2)^2/(x+1)
y(-x) неравно -у(х), т.е. функция ни четная, ни нечетная.

3) y(x+T)=((x+T)-2)^2/(x+T)+1))=(x+T-2)^2/(x+T+1)=((x-2)+T)^2/((x+1)+T)
y(x+T) неравно y(x), т.е. функция не является периодической.

Верно нашла:
1) область определения;
2) четность, нечетность;
3)периодичность???

Верно.

я не могу разобраться с определение интервалов возрастания и убывания, что куда надо подставлять, объясните пожалуйста.

Нужно вычислить производную заданной функции и посмотреть её знаки на разных промежутках.Там,где она отрицательна,функция убывает;положительна - функция возрастает.

y'=((x+1)((x-2)^2)'-(x-2)^2*(x+1)')/(x+1)^2=
=((x+1)(2(x-2))-(x-2)^2*1)/(x+1)^2=
=((x+1)(2x-4)-(x-2)^2)/(x+1)^2=
=((2x^2-4x+2x-4)-(x-2)^2)/(x+1)^2=
=(2x^2-2x-4-x^2+4x-4)/(x+1)^2=
=(x^2+2x-8)/(x+1)^2=
=((x+4)(x-2))/(x+1)^2



теперь из промежутков области определения функции (-00;-1) и (-1;+00) возьмем с первого промежутка -2, со второго промежутка 2. Теперь подставим в найденую производную:

для -2:
((x+4)(x-2))/(x+1)^2=((-2+4)(-2-2))/(-2+1)^2=(2*(-4))/1=-8/1=-8 - функция убывает

для 2:
((x+4)(x-2))/(x+1)^2=((2+4)(2-2))/(2+1)^2=(6*0)/9=0/9=0 - функция возрастает

правильно поняла?

Поняли правильно,а сделали не очень.Нужно найти промежутки знакопостоянства производной,т.е.,фактически,решить неравенства y'>0 и y'<0.

Вам необходимо найти точки в которых первая производная равна нулю или не существует. Вы только нашли, в которых не существует.