Всем доброго времени суток. И снова я со своими контрольными по высшей математике. Вот решила начать с интегралов. Порешала, что - то нарешала. Хотелось бы, чтобы Вы посмотрели, если неправильно что-то подсказали. Буду очень благодарна за Вашу помощь.

Ну, начну с первого примерчика:

int(x*ln(x-1)dx)={ln(x-1)=u, dx/(x-1)=du, xdx=dv, v=int(xdx)=x^2/2}=x^2/2 *ln(x-1) - int( x^2/2 * dx/(x-1) )=x^2/2 ln(x-1) -1/2 * int( x^2*dx/(x-1) )=x^2/2 * ln(x-1) -1/2 * ln(x-1) +C = 1*2 * ln(x-1)(x^2 -1) +C.

Вот. Это первый пример. Вроде нигде не должна была ошибиться, но все равно ради безопасности хочется перепроверить себя

У вас интеграл равен ln(x-1)? Неправильно.

Продиффиринцируйте полученный ответ...

Что-то я перепугалась аж, если честно и тормозить начала
Посидела, попыталась собраться с мыслями и подумать(иногда получается)...
Поняла только одно, что интеграл при решении нашла не правильно...
Извиняюсь, если напишу глупость
int(x^2 * dx/(x-1))={t=x-1 => x=t+1, dt=dx, x^2 dx=dt => dx=dt/(t+1)^2}
Что-то в роде этого надо было делать?
Извиняюсь, если глупость написала, просто затормозила сильно

Т.к. степень числителя больше степени знаменателя, то надо выделить целую часть. Для этого нужно числитель оделить на знаменатель.

Или можно поступить следующим образом: int(x^2 * dx/(x-1))=int([(x^2-1)+1] * dx/(x-1))=int([(x-1)(x+1)+1] * dx/(x-1))=int((x+1)dx)+int(dx/(х-1))=...

упс
Видела такое в учебничке
Спасибо, что подсказали, сейчас пересмотрю и постараюсь понять

Вот... Поняла, я в другом примере такое применяла, а в этом почему-то не знаю почему не применила...
В общем дописала решение, вернее ответ
Получила
x^2/2 ln(x-1) -1/2[x^2/2 +x +ln(x-1)] +C = ln(x-1)/2 * (x^2 -1) - x^2/4 -x/2 +С= ln(x-1)/2 * (x^2 -1) - x/2 (x/2 +1) +С.
Вот теперь кажется так должно быть?

Вроде так.

Спасибочки
А вот следующий примерчик(увидела в учебнике решение аналогичного примера, думаю не ошиблась )

int[(3x-2)*dx / (5x^2 -3x+2)]=1/5 int[(3x-2) *dx / (x^2 -3*x/5)+2/5];
Здесь:
А=3,
В=2,
p=3/5,
q=2/5.
Т.к.
p^2/4 - q = 9/100 - 2/5 = -31/100 <0 =>
Ax+B=(2x+p)*A/2 -Ap/2 +B

И длинное длинное решение:
1/5 int [(3/2(2x+3/5) + (2-9/10))/(x^2-3*x/5+2/5) *dx] = 1/5 {3/2 int[(2x+3/5)*dx / (x^2-3*x/5+2/5)] + (2-9/10) int dx/(x^2-3*x/5 +2/5)} = 1/5 {3/2 int d(x^2-3*x/5+2/5) / (x^2-3*x/5+2/5) +11/10 int dx/((x+3/10)^2 + (2/5-9/100))}= 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/10 int d(x+3/10) / ((x+3/10)^2 + (2/5-9/100))} = 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/10 * 1/sqrt(2/5-9/100)arctg((x+3/10)/sqrt(2/5-9/100))}+C = 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/10 *10/sqrt(31) * arctg(10*(x+3/10)/sqrt(31))}+C = 1/5 {3/2*ln(x^2-3*x/5+2/5 + 11/sqrt(31) * arctg(10*x+3)/sqrt(31))}+C.

Проверте пожалуйста

Хотя у меня есть небольшие сомнения... Может быть тут не надо было 5 из знаменателя выносить?

Вот это понаписывали...

У меня такое получилось: 3/10*ln(5*x^2-3*x+2)-11sqrt(31)/155*arctan((10*x-3)/sqrt(31))

ага... много написала и ненужного...
Я разобралась с первым слагаемым, оно у меня такое же получилось как и у Вас, а вот со вторым вообще немогу разобраться У меня не получается как у Вас... Наверное я просто запуталась уже...
arctan((10*x-3)/sqrt(31)
Вот это у меня тоже получилось, а вот
-11sqrt(31)/155
неполучилось...
у меня вообще там вышло так:
-11/5sqrt(31)....
А как у вас вышло, что корень в числителе, а не в знаменателе?

ну так надо просто домножить числитель и знаменатель на корень из 31
ответы у вас одинаковые

а. о, точно... я уже совсем запуталась с этим примером, что такой мелочи не заметила... Спасибо

Спасибо Я разобралась и все поняла
А вот только с этим примерчиком не могу разобраться
int((xdx)/(x^3+1))
Я разложила сумму кубов и получила:
int((xdx)/(x+1)(x^2-x+1))
А вот что делать дальше, ума не приложу...
Листала, листала методичку, и ничего не нашла
Подскажите, плиз или дайте какую-нибудь ссылочку полезную, чтобы разобраться с этим примером, буду очень благодарна.

Разложите дробь в сумму простейших:

x/(x^3+1)=A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2-x+1)

Коэффициенты A,B,C определяются путём сравнения коэффициентов при одинаковых степенях после приведения к общему знаменателю.

Хорошо. Спасибо. Попробую.

Я нашла коэффициенты, они равны:
А=1
В=-1
С=1
Получилось:
int(dx/(x+1))+int((1-x)dx/(x^2-x+1))=ln(x+1)-1/2int((2x-1)dx/(x^2-x+1))+(1-1/2)int(dx/(x^2-x+1))=ln(x+1)-1/2 *ln(x^2-x+1)+1/2int(d(x-1/2)/(x-1/2)^2+(sqrt(3)/2)^2)=ln(x+1)-1/2 *ln(x^2-x+1)+sqrt(3)/3*arctg((2x-1)/(sqrt(3)))+C.

Вот. Конечно расписывала не все, там много очень писанины...
Но основное написала. Проверте пожалуйста

Хотя не знаю, я немного не поняла, как находять А,В,С... Поэтому могла и ошибиться.

Все. Я разобралась ))) Я и вправду их не правильно нашла...
Тогда немного изменится ответ:
У первого слогаемого будет коэффициент -1/3, у второго 1/6. а у арктангенса будет так же, там сократится все. Правильно?

B=1/3; C=1/3
У второго слагаемого будет коэффициент 1/3.
(x/3+1/3)/(x^2-x+1)=1/3*(x+1)/(x^2-x+1)=(x+1)/[3*(x^2-x+1)]

Не, я это поняла Я про конечный ответ уже

Да, в конечном ответе -1/3 и 1/6... Извиняюсь...

Ничего страшного

Нет, коэффициенты опять не те. Или это не про ABC? В конечном ответе кроме двух логарифмов с коэффициентами -1/3 и 1/6 будет ещё арктангенс с иррациональным коэффициентом.

Про А, В, С мне уже понятно, они равны -1/3, 1/3 и 1/3 соответственно.



да:) как раз в конечном ответе и получилось 3 слогаемых, два из них логарифма с коэффициентами -1/3 и 1/6 и один арктангенс с коэффициентом sqrt(3)/3...

Итого
-ln|x+1|/3 +ln(x^2-x+1)/6 + (1/sqrt3)arctg{(2x-1)/sqrt3}.

Так точно
Всем огромное спасибо за помощь!