Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график.
функция такая: y=(x-1)*e^(3x-1)

Решение:
1) Область определения: D(y)=(-бесконечность;+бесконечность).
2) y(-x)=(-x-1)*e^(3(-x)-1)=(-x-1)*e^(-3-1)
y(-x) не равно -y(x)
т.е. функция ни четная, ни нечетная.
3) y(x+T)=((x+T)-1)*e^(3(x+T)-1)=(x+T-1)*e^(3x+3T-1)=((x-1)+T)*e^((3x-1)+3T)
y(x+T) не равно y(x)
т.е. функция не является периодической.
4) Интервалы возрастания и убывания:

правильно я 1),2),3) пункты решила?
в 4) пункте у меня проблемка с нахождением производной возникла
по какой формуле ее находить...

по формуле производной от произведения

попробую сейчас.

а пункты с 1 по 3 я правильно сделала?

правильно

производная получилась такая:
y'=(x-1)'*e^(3x-1)+(x-1)*(e^(3x-1))'=1*e^(3x-1)+(x-1)(3x-1)*e^(3x-1)=e^(3x-1)*(1+((x-1)(3x-1)))=
=e^(3x-1)*(1+(3x^2-4x+1))

правильно?

То что красным, то неправильно. Там должно быть написано (3x-1)'

y=(x-1)'e^(3x-1)+(x-1)(e^(3x-1))'=
=1e^(3x-1)+(x-1)(3x-1)'e^(3x-1)=
=1e^(3x-1)+(x-1)3e^(3x-1)=
=e^(3x-1)(1+(x-1)3)=
=e^(3x-1)(1+(3x-3))

верно?

Верно.
(1+(3x-3)) упростите (раскройте скобки).

получилось e^(3x-1)(3x-2)

да

Что то у меня затруднения с определением интервала возрастания и убывания...

Нашла производную: y'=e^(3x-1)*(3x-2)
Затем производную приравняли к нулю: y'=0 => 3x-2=0 => 3x=2 => x=2/3
Строим таблицу:

x | (-бесконечность; 2/3) | 2/3 | (2/3; +бесконечность) |
----------------------------------------------------------------------
y' |?????????????????????|????|??????????????????????|
----------------------------------------------------------------------
y |?????????????????????|????|??????????????????????|
----------------------------------------------------------------------

а теперь как? в функцию y'=e^(3x-1)*(3x-2) подставлять 2/3, а затем в функцию y=(x-1)e^(3x-1) подставить 2/3?????

Вы как-то интересно определяете интервалы возрастания и убывания. Нам надо знать для этого не знак функции, а знак производной функции на двух интервалах: (-00; 2/3) и (2/3; +00). Обычно это делается так:
1. Рисуется координатная прямая х.
2. Отмечаются на ней точки, в которых первая производная равна нулю или не существует.
3. Находится знак производной на каждом из полученных интервалом. Для этого берется любая точка из указанного интервала и находится знаечние первой производной в этой точке. Например, для данного примера, из интервала (-00; 2/3) берем значение х=0 и подставляем в выражение для первой производной: y'(0)=e^(-1)*(-2)<0 (на рисунке ставим знак "-"). Т.е. на данном интервале функция убывает.

Аналогично находите знак производной на втором интервале.

П.С. Таблица, которую вы привели, строится в конце, после нахождения критических точек, точек перегиба и т.п.