Уравнение очень простое, помогите разобраться.
y'' - 2*y' +y = x

Находим общее решение ОДУ:
k^2-2k+1=0
(k-1)^2=0
k=1

Дальше, я так понимаю, надо взять частное решение, выразить А, В и т.д. Объясните, пожалуйста, в каком виде берется частное решение, и - самое главное - почему? На чем основан его вид? Примеры смотрела, теорию читала, не помогло.

Какие примеры смотрели?
Здесь также?

Посмотрите на правую часть уравнения. Там какой степени многочлен?

Именно там и смотрела.
Частное решение будет в виде Ах+В, верно?
А если бы, скажем, получилось так, что а + i*b = 1, то оно бы выглядело как x^2 * e^(ax) *.... и т.д. Правильно?

И сразу, если можно, подскажите, пожалуйста, метод для решения уравнений:
y'' = y^2 * y'
y' = y*ctg(xy) + cos(x)
Мне абсолютно ничего не приходит в голову и даже не ориентируюсь, где можно посмотреть, потому что ДУ изучали очень давно.

В первом, если сделать замену y'=p(y), получается сложный интеграл при обратном переходе. Может, есть еще способы?
По поводу второго - идей никаких.

Частное решение однородного:
y=C1*e^x+C2*x*e^x

Верно, часное неоднородного искать в виде y=Ax+B, А и В искать подстановкой в уравнение.

Вы уверены, что уравнение выглядит именно так? Скорее всего в аргументе котангенса y отсутствует.

1) y'=p (p=p(y) ), y"=p'(y)*y'=p'*p
p'p=py^2
Отдельно рассмотреть случай р=0 => y'=0 => y=C, теперь сокращаем р:
p'=y^2
p=(1/3)*y^3+C1
y'=(1/3)*y^3+C1 .....

2) Сомневаюсь, что правильно записан пример. Скорее всего y' = y*ctg(x) + cos(x)
Тогда y' - y*ctg(x) = cos(x)
линейное уравнение. Стандартный метод решения.

Для первого подстановка y'=p(y) это единственный метод решения? У меня еще много примеров наподобие, и везде при таком методе получаются интегралы, которые сложно найти - такого, по идее, быть не должно.

Второе: y'=y*tg(xy)+cos(x). Чуть-чуть ошиблась, но суть от этого не изменилась. В таком виде оно решения не имеет? К сожалению, не смогу уточнить у преподавателя, поэтому хотелось бы знать точно. Хотя мне оно тоже показалось каким-то странным (-:

Возможно,первое задание - нужно было решить задачу Коши,т.е. были заданы какие-нибудь значения функции и производной в некоторой точке.
Насчёт второго - скорее всего,под знаком тангенся нету игрека.

нет, начальные условия не заданы.

скорее всего, что да. Проверьте еще раз задание.

спасибо всем большое за помощь!