Собственно вот.
Буду благодарен, если изложите ход решения.

разложите на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов

Пробовал этим методом. Но суть в том, что преподаватель сказал решить методом сравнения с другой функцией.

Особые точки 1 и (-1).
Берем, например, 1.
Разложим знаменатель

1/(x^8-1)=[1/(1-x)]*p(x)
Оцените снизу р(х) в правой окрестности х=1: р(х)> C (найдите это С).
Тогда
1/(x^8-1)>C*[1/(1-x)]