Задание: линейный оператор в базисе u1,u2,u3 имеет матрицу A. Найти его матрицу в базисе v1,v2,v3.
Даны координаты векторов u1,u2,u3, v1,v2,v3 и матрица A. Нужно найти матрицу B.

Действую так: вначале нахожу матрицу перехода из базиса u1,u2,u3 к базису v1,v2,v3, обозначу ее как U. И обратную к ней - V. Отсюда B=UAV.
Верно ли такое решение? Заранее спасибо.

Вроде рассуждения верны, но если я не ошибаюсь, матрицы U и V надо поменять местами.
Пример

Этот момент в учебниках как-то непонятно расписан, спасибо за пример и подсказку.

Пожалуйста.

А вот еще одно задание: линейный оператор А переводит векторы a1,a2,a3 ( даны координаты) в векторы b1,b2,b3 ( даны координаты) соответственно. Найти матрицу оператора А в стандартном базисе.

Составляю систему из 9ти уравнений : bn=A*an и нахожу матрицу оператора А. А как найти эту матрицу в стандартном базисе?

Стандартный базис - е1=(1,0,0), е2=(0,1,0),е3=(0,0,1)

То есть грубо говоря умножить получившуюся матрицу на единичную матрицу?

А что это изменит?



векоры по три координаты имеют?

Не пойму, откуда 9 уравнений берется?



Если я правильно поняла задание, то надо вспомнить, что называется матрицей оператора в некотором базисе - это матрица, по столбцам которй записаны образы базисных векторов.

Да, векторы имеют по 3 координаты. То есть получается матрица А будет 3 на 3, соответственно 9 неизвестных.
Составляю систему: b1=A*a1 (3 уравнения), b2=A*a2(3 уравнения), b3=A*a3 (3 уравнения)
Матрица А вроде бы правильная получилась.
Потом нужно разложить матрицу А по стандартному базису, то есть в итоге получается матрица, у которой на главной диагонали какие-то значения, а остальные элементы нулевые?

ага, теперь понятно

Честно говоря, что-то запуталась, но не надо ли это подействовать матрицей А на векторы стандартного базиса? Надо думать...

Хотя возможно, та матрица, которую вы нашли, и есть уже ответ. Хм...

Да, я тоже в сомнениях.

Я бы так сделал:
1)записал бы матрицу(Х),которая переводит векторы стандартного бызаиса е1,е2,е3 в вектора а1,а2,а3 и ту(Y),которая те же базисные векторы переводит во вторую тройку.
2)два преобразования с матрицами X и A равны преобразованию Y,следовательно
3)решаем матричное уравнение XA=Y,откуда находим A.

интересно...

Матрица которая переводит векторы стандартного базиса в вектора а1,а2,а3 - это та же самая матрица из векторов а1,а2,а3.
Поэтому, мне кажется, что матрица, которая переводит векторы A в B и есть ответ.

Да,просто в Вашем решении Вам приходится решать систему из 9 уравнений,а мне всего лишь нужно найти обратную к X и умножить её справа на Y.

Ок, спасибо, у меня простые матрицы(много нулей), поэтому мне быстрее системой решить, ибо решение нужно "ручное".

Хозяин-барин

У меня еще одно задание с матрицами перехода:
найти матрицу перехода от базиса 1,t,t^2,t^3 пространства многочленов степени не выше 3 к базису 1,(t+a), (t+a)^2,(t+a)^3.
Не могу понять как представить эти базисы, чтобы матрицу найти и как влияет пространство многочленов степени 3, ибо t^4 у нас нет.
То есть базис 1,t,t^2,t^3 можно записать как:
1 0 0 0
0 t 0 0
0 0 t^2 0
0 0 0 t^3
Или я не права? Заранее спасибо.

Первый базис называется стандартным в пространстве многочленов.Чтобы записать матрицу перехода,нужно просто векторы второго расписать покоординатно:
1=1*1+0*t+0*t^2+0*t^3;
t+a=a*1+1*t+0*t^2+0*t^3;
(t+a)^2=t^2+2*t*a+a^2=a^2*1+2*a*t+1*t^2+0*t^3;
(t+a)^3=t^3+3*a*t^2+3*a^2*t+a^3=...
То есть,координатами первого вектора нового базиса в старом будет (1,0,0,0), второго - (а,1,0,0), третьего - (a^2,2*a,1,0), четвёртого - (a^3,3*a^2,3*a,1).
А потом просто записываете матрицу перехода.

Спасибо за подсказку и решение! Всё оказалось просто)

А вы не пробовали сравнить результаты?

С обратной матрицей у меня получается другая матрица перехода, при ее проверке не получается получить вектора B из векторов A.