Здравствуйте, помогите пожалуйста решить данные интегралы:

1) int a^(x)*e^(x) dx
2)int ln^3(x)/sqrt(x^5) dx

Второй пытался решать методом замены ln^3(x)=y и далее решать через y, но ничего не получилось.
Насчёт первого, идей никаких нет, думал решать через U, dU, dV, V, но за что брать U и V не знаю.
Тема только недавно началась, хочется заранее понять принцип решения. Поэтому желательно кроме решения немного пояснений И заодно подскажите пожайлуста литературу, для новичка, по интегралам.
Спасибо.

1) I = int a^x * e^x dx = int a^x d(e^x) = a^x * e^x - int e^x d(a^x) =
= a^x * e^x - int e^x * a^x * ln a
Получаем, что
I = a^x * e^x - ln a * I => I = a^x * e^x/(1 + ln a)
2) Можно попробовать по частям

попробуйте один раз по частям, а затем решить уравнение относительно заданного интеграла. Вроде должно получиться. В качестве u обычно берется та функция, которая после дифференцирования упрощается. В данном случае, как по мне, существенной разницы нет.

первое, что пришло в голову почему-то, это три раза по частям. Хотя могу ошибаться. Попробуйте...

1. Int((a^x)*(e^x))dx=Int((a*e)^x))dx=((a*e)^x))/ln(a*e)+C. Но можно и так как предложили уважаемые Тролль и tig81
2. Действительно 3 раза по частям.

А у меня так почему-то не получилось?!

Конечно не получилось. По ночам спать надо, а не интегралы для нерадивых студентов решать

В этом причину тоже видела, но все же...Да у нас и было то всего 23:51

Это тоже не утро

согласна

Спасибо всем за отзывчивость, насчёт первого всё ясно, а второй, как понять по частям?

т.е. по формуле int F(x)g(x)dx= F(x)G(x)- int f(x)G(x)dx
и как можно эту схему применять 3-раза?

т.е. каждый раз рассматривая последний интеграл?

Форммула интегрирования по частям: int [u * dv] = u*v - int [v * du]
И далее рассматриваете последний (собственно, он и единственный) интеграл.

и рассматривать его 3-раза получается?

Да практически, т.е.


каждый раз интеграл будет единственным, но верно, применять к интегралу формулу интегрирования по частям.

ладно, сейчас попытаюсь, отпишусь о результатах)

ладно, пробуйте!

Ещё вопрос, поясните пожалуйста вот этот момент:

I = a^x * e^x - ln a * I => I = a^x * e^x/(1 + ln a)

в первом, почему ln(a)*I ?

Потому что int a^xdx=a^x*ln(a).

т.е. I=int (e^x)*(a^x) ?


так это понял, вот как мы это получили "=> I = a^x * e^x/(1 + ln a)"

Ну вас, если я правильно поняла, интересовало, откуда логарифм взялся?! Или что?

Да логарифм, и последнее "=> I = a^x * e^x/(1 + ln a)" - как мы это получили? выразили I ?

Да из равенства

Int(a^x)dx=(a^x)/ln(a)+C

P.S. Понимаю, что это опечатка, а не ошибка.

П.С. А что не очень понятно, что речь про производную?! К чему там интеграл?!

Ну и ещё один вопрос)
ln a * I= int(a^x * e^x * ln(a))

верно?

Уже даже боюсь...а то опять какие-то новые формулы выдумаю...
Если I= int(a^x * e^x)dx, то ln a * I= int(a^x * e^x * ln(a))dx

А зачем вам это?

Это для собственного успокоения)

Огромное спасибо, буду обращаться ещё)

Все снова здравствуйте,
новую тему создавать не хотел, решил продолжать беседу в старой, так вот, собстевенно насчёт второго, вот что у меня вышло:

-2*ln^3(x)/3*sqrt(x^3) - 4*ln^2(x)/3*sqrt(x^3) - 16*ln(x)/9*sqrt(x^3) + 32/27*sqrt(x^3)
я не уверен, что это правильный ответ.
Рассматривая каждый раз последний интеграл, брал за U - логарифм, потом рассматривая следующие интегралы выносил числа за интеград:
-2/3 и -4/3, в результате я получил см.выше

И тут ещё несколько интегралов нарыл, решить которые, я не смог:
1)int cos(x) dx/(sin^2(x))^1/3, в низу корень третей степени от синуса в квадрате.
2)int x^2*dx/(x^6+4) - предполагаю, что надо упростить под станд.формулу int dx/(x^2+a^2), только запутался как.
3)int (x^2-1)/(x^2+1) - думаю надо как-нибудь выделить целую часть.
4)int x*arctg(x) dx - вариант -интегрирование по частям.

Подскажите пожалуйста.

1)Перейдите к новой переменной t = sin(x);
2)Замена t = x^3
3)В числителе добавьте и вычтите единицу,потом выделите целую часть
4)По частям,потом можно подстановкой Эйлера.

А что насчёт первого, правильно я получил?

По идее,так.

1) А в числителе представить cos(x)=1-sin^2(x)?
И что дальше делать с (1-t^2)/t^2/3 ?
2)разве не на t=x^2 ? у меня же в числителе x^2
Далее t под диференциал и по формуле, а конце заменить t на x?
3)получаю int 1 - 2/(x^2+1) dx, а ответ x-2*arctg(x)+c
4)arctg(x)*x^2/2 - int x^2/(2+2*x^2) что можно дальше сделать?

Правильно или нет?

Это что-то новое.
Не надо ничего представлять,просто сделайте замену t=sin(x), найдите dt, подставьте и будет Вам счастье.

Нет. x^2*dx = d(x^3)/3

Дальше Сами.

Выделите целую часть.

Прошу прощения,не нужно здесь Эйлера.

с первым ступил)

значит так:
1)Ответ: 3*(sin(x))^1/3 + c
2)Ответ: 1/6*arctg(x^3/2) + c
3)Ответ: x-2*arctg(x)+c
вот только насчёт 4-ого немного не понял, подскажите пожалуйста

насчёт 4-ого уже не надо, разобрался)

Спасибо, что помог с решением.

На здоровье