Попалась вот такая вот задачка. Второй день сижу, ломаю голову

Для нормально распределенной случайной величины оценить объем выборки, чтобы точность среднеквадратического отклонения равнялась 10%. Дано: Sx=0,5, P=95% (доверительная вероятность)


Искала решение в Кремере и Гмурмане. Там приведены решения только для случая с генеральной средней и с генеральной долей, а вот с СКО - нет!
Попыталась вывести сама из формул для нахождения интервалов для СКО (по Кремеру) с учетом того, что точность (предельная ошибка) равна половине длины интервала, но получается слишком громоздкая зависимость. Возможно, есть более простое решение? Кто знает, подскажите

Могу попробовать, но без уверенности, что попадаю "не пальцем в небо" - т.е. что требовалось именно это:

Нужно найти такое минимальное n, чтобы P(|1 - Sx/σ| < 0,1) >= 0,95.

Раскроем скобки, возведём в квадрат и домножим на n, т.е. приведём к виду, когда по центру окажется величина n*Sx²/σ² с хи-квадрат распределением с n-1 степенью свободы:

P(0,9 < Sx/σ < 1,1) = P(0,81n < n*Sx²/σ² < 1,21n) >= 0,95.

Теперь есть два выхода:
1) тупой, но я бы им и воспользовалась: берём Excel, в левую колонку загоняем n от 2 до "пока не хватит". Умеете? Надо написать 2, ниже 3, обе ячейки выделить и навести мышь на нижний уголок - там появится толстый крестик (маркер автозаполнения), его схватить и тащить вниз. В первой ячейке соседней колонки пишем
=ХИ2РАСП(0,81*A1;A1-1)-ХИ2РАСП(1,21*A1;A1-1)
и копируем ниже. Ждём, пока 0,95 не наберётся. У меня n=193 получилось.
2) чиста теоретический: надо использовать аппроксимацию Фишера - в Кремере это замечание в самом конце той главы, где доверительные интервалы для нормальны распределений.
Она говорит, что распределение величины sqrt(2X)-sqrt(2k-1) близко к стандартному нормальному, если X имеет хи-квадрат распределение с k степенями свободы. У нас X=n*Sx²/σ² имеет k=n-1 степень свободы.

Снова преобразуем неравенство, чтобы в середине получить sqrt(2X)-sqrt(2*(n-1)-1):

P(0,81n < n*Sx²/σ² < 1,21n) = P(sqrt(2*0,81n) - sqrt(2n-3) < sqrt(2X)-sqrt(2n-3) < sqrt(2*1,21n) - sqrt(2n-3) ) = 0,95.

Так как по центру - стандартная нормальная величина, границы можно брать симметричными, левая -1,96, правая 1,96. Ну или -2 и 2 "для верности", мы же приближением пользуемся.

Чтобы решить уравнение sqrt(2*0,81n) - sqrt(2n-3) = -2, стоит 2n-3 заменить на 2n: сойдёт и так. Тогда sqrt(2n) = 20, n=200. Если брать 1,96, то получается n=192.

Вообще-то, в отличие от мат. ожидания и вероятности, интервал для дисперсии и среднего квадратического отклонения строится несимметричный. Поэтому по идее правая и левая граница, построенные с заданной доверительной вероятностью скорее всего не будут симметричны относительно Sх.

В общем случае такие задачи решаются так: когда известна доверительная вер-ть, находят P(Xи^2) для нижней и верхней границы как (1-р)/2 и (1+р)/2, потом по таблице Xи^2 распределения смотрят Xи^2 значения и находят верхнюю и нижнюю границу для дисперсии (СКО).
У Вас тут получается, что и доверительная вер-ть известна, и границы... Сомневаюсь, что это даст одинаковый объем выборки для нижней и верхней границ. Посчитайте - посмотрите.

вот ссылки из Википедии на всякий случай(хотя Вы вроде знаете формулы)

Доверительный интервал для дисперсии: (только там перепутаны вероятности - нижняя граница находится через вер-ть (1-р)/2)
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BE%...%80%D0%BA%D0%B8

и какое у Вас СКО - смещенное-несмещенное?

Выборочная дисперсия:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8B%...%81%D0%B8%D1%8F

ps ну вот -пока писала - опоздала.. Ну не буду стирать... тем более писали о разном...