Дано:
Прибор состоит из n независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов за время T одинаковы и равны p.
Случайная величина X - число отказавших за время T элементов.
n=10; p=0,27; r=4

Необходимо исследовать случайную величину X, определить закон ее распределения, математическое ожидание и дисперсию, построить функцию распределения F(x). Найти вероятность отказа прибора за время T, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы r элементов из n.

Решение:
Данная задача предполагает использование схемы независимых испытаний Бернулли. Следовательно, дискретная случайная величина Х={ число отказавших за время T элементов } имеет биноминальное распределение.

Пусть есть следующие события:
А0 ={не отказал ни один элемент}
А1 ={отказал один элемент}
А2 ={отказало два элемента}
А3 ={отказало три элемента}
………………………………
Аn ={отказало n элементов}

Тогда вероятности этих событий рассчитаем по формуле Бернулли P(An)=(C из n по m)*p^m*q^(n-m) ,
где n=10 – всего элементов;
m≤n – количество отказавших элементов;
p =0,27 – вероятность отказа одного элемента;
q = 1- p = 1-0,27=0,73.

По этой формуле я рассчитал вероятности P(A0), P(A1), и т.д.

Функция распределения случайной величины Х представляет собой неубывающую ступенчатую функцию:
0, при x<0
Р0, при 0≤х<1
P0+P1, при 1≤х<2
P0+P1+Р2, при 2≤х<3
P0+P1+Р2+Р3, при 3≤х<4
P0+P1+Р2+Р3+Р4, при 4≤х<5
P0+P1+Р2+Р3+Р4+Р5, при 5≤х<6
P0+P1+Р2+Р3+Р4+Р5+Р6, при 6≤х<7
P0+P1+Р2+Р3+Р4+Р5+Р6+Р7, при 7≤х<8
P0+P1+Р2+Р3+Р4+Р5+Р6+Р7+Р8, при 8≤х<9
P0+P1+Р2+Р3+Р4+Р5+Р6+Р7+Р8+Р9, при 9≤х<10
P0+P1+Р2+Р3+Р4+Р5+Р6+Р7+Р8+Р9+Р10, при х≥10

Математическое ожидание и дисперсия в случае биноминального распределения рассчитываются следующим образом:
М(х)=n*p=10*0,27=2,7
D(x)=n*p*q=10*0,27*0,73=1,97

До этого момента вроде бы все верно?
Но у меня остался один вопрос: Найти вероятность отказа прибора за время T, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы 4 элемента из 10.
Вероятность отказа 4-х элементов - это Р(А4), а что значит "Хотя бы 4 элемента"? Подскажите, пожалуйста

Хотя бы 4 элемента - это или 4, или 5, или 6 и т.д. до n
т.е. сложить все соответствующие вероятности.

И вот ещё вопрос - как вам давали на лекциях функцию распределения? как вероятность F(x)=P(X<x) или F(x)=P(X≤x)??
я столкнулась с тем, что разные школы дают это по-разному.. у вас как?

То есть вероятность отказа прибора при отказе хотя бы 4-х элементов это: Р(А4)+Р(А5)+...+Р(А10)?

А давали нам в институте F(x)=P(X<x)

В таком случае пересмотрите значения своей функции распределения в точках скачков. Например, при x=0 имеем F(x) = P(X < x) = 0 - не бывает X строго меньше нуля. А у Вас в точке x=0 значение функции получилось P0, и функция в этой точке оказалась непрерывна справа, а не слева. То же самое во всех остальных точках.

Нигде не видел
F(x)=P(X≤x)

Это общепринятое на западе определение функции распределения. Поэтому его придерживаются поневоле преподаватели тех предметов, где часто приходится иметь дело с западными источниками: экономисты, например. Да и математики, часто публикующиеся в западных журналах, используют там такое определение по умолчанию. Вариант F(x)=P(X < x) сохраняется в основном в русской учебной литературе, да и там уже начинает уступать место западному, так же как обозначение для матожидания E(X) вместо M(X): просто единообразие в математике дороже национальных традиций.

мне так преподавали в конце 80-х-начале 90-х в одном московском техническом ВУЗе...

Мы даем сейчас F(x)=P(X<x). и оно действительно более принято в нашей русской школе...
... я когда начинала преподавать столкнулась с этим вопросом и долго мучилась...

Спасибо за разъяснение.
Забавно. Меняются и некоторые свойства.

Только одно Непрерывность справа-слева.

Это и имел в виду.

Я понимаю Просто это и есть основная причина частого использования "<=".
Вставлю для полноты картины ещё пять копеек: есть масса мест в анализе, - например, пространства Скорохода, - где для определённости достаточно брать функции, непрерывные с одной стороны. И где давно и прочно выбраны непрерывные справа функции. Часто в этом есть и бытовой смысл. Скажем, в теории массового обслуживания всевозможные процессы, которые меняются скачками в моменты прихода-ухода вызовов - типа длины очереди Q(t) - лучше считать непрерывными справа, т.е. считать, что они меняются именно в момент прихода/ухода t, а не в момент t+0: что Q(t)=Q(t+0), а не Q(t)=Q(t-0).
Ну а когда возникает привычка работать с непрерывными справа траекториями и т.п., то и функции распределения удобнее видеть непрерывными справа. Например, чтобы готовые методы и теоремы о свойствах непрерывных справа функций применять напрямую, а не переделывать под G(x)=F(-x) или ещё как-либо.

В наших школах этого не дают. Рано еще ученикам про функции распределения расказывать Пусть с простыми функциями разберутся.

Вообще-то речь шла про разные вероятностные школы Или, шире, про математические, научные школы. А не про учреждения среднего образования. Научной школой называют (цитирую) "совокупность последователей ведущего ученого или сторонников одного из методологических направлений; форму кооперации ученых и закрепления исследовательских традиций".