Здравствуйте, натолкните, пожалуйста, на ход решения. В подсказке к задаче сказано, что надо использовать функцию Лапласа, но не знаю с чего начать...

Дано:

По каналу связи передается двоичным кодом одно из пяти сообщений 010, 100, 110, 010, 111. Передача сигнала “0” - это отсутствие импульса, а сигнал “1” - это положительный импульс уровня 2,4 В. В канале действует случайная помеха, которая аддитивно накладывается на передаваемый сигнал. Сигналы искажаются независимо. Мгновенное значение уровня помех распределено нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией =0,49.
Если на приемнике получен импульс уровня меньше 1,4 В, то он воспринимается как “0”, если равен 1,4 В или более, то воспринимается “1”.

Найти вероятности искажения сигналов “0” и “1” на противоположные и вероятность правильного приема сообщения, если передано ‘‘100’’.

одинаковые два сообщения? или опечатка?


Функцию Лапласа имеется в виду, думаю, надо применять, т.к. это нормальное распределение, а любые вероятности и значения функции распределения нормального закона рассчитываются с помощью функции Лапласа

По поводу одинаковости - не знаю, может и опечатка, но не моя, так в условии

А что касается всего остального - я не понимаю... Да, рассчитывается при помощи функции Лапласа, но как? Я ничего не могу сообразить

Предположим, что передавался 0. Пусть уровень помех - случайная величина Х. Тогда уровень полученного импульса есть 0+Х. В каком случае сигнал будет воспринят как 0? Нужно найти вероятность этого события. Потом так же разобраться со входной единицей.

Сигнал будет воспринят как "0", если 0<=x+0<1,4В, т.е. 0<=x<1,4В
Соответственно, надо найти вероятность Р(0<=x<1,4)=?
По интегральной формуле Лапласа Р(а<=x<==1/2(Ф(х1)-Ф(х2)), где
х1=(а-np)/(npq), x2=(b-np)/(sqrt(npq))

Так? Если так, то что у нас n, p, q ? Или меня не туда занесло?

Во-первых, думаю, ограничивать Х нулём слева не следует. Иначе сумма вероятностей событий "сигнал воспринят как 0" и "как 1" будет не 1 - куда мы денем вероятность, с которой Х < 0? Физика в данном случае стерпит. Видимо, сигнал воспринят как 0, если просто X < 1,4.

Интегральная формула Лапласа тут действительно ни при чём. У Вас в условии оговорено, что случайная величина Х имеет нормальное распределение с известными математическим ожиданием и дисперсией.

Найдите, как для нормально распределённой случайной величины с данным матожиданием m и данной дисперсией s^2 вычисляется вероятность события {X < b} (или {a < X < b}) через функцию Лапласа Ф(x).

Формула очень похожа на приведённую, но х1 и х2 выражаются через матожидание и дисперсию Х, т.е. через параметры данного нормального распределения.

Ну а затем по этой формуле и по таблице функции Лапласа посчитайте P(X < 1,4) или P(-oo < X < 1,4).

Да, спасибо большое за разъяснения, я уже нашел формулу. Получается:
Если мы передаем "0" и на выходе тоже "0", плюс помеха Х, то получаем сигнал 0В+х
Вероятность того, что сигнал "0" не исказится: Р(х<1,4)=2Ф(1,4/0,7)=0.9544
Тогда вероятность искажения "0" будет 1-0.9544=0,0456 Так?

А что делать с "1"? Если мы передаем "1", то на входе будет 2.4В+х
И тогда нужно посчитать вероятность не искажения "1" Р(2.4+х>=1.4) то есть Р(х>=-1)=?
Для использования данной формулы необходимо, чтобы дельта была положительной и был знак меньше.
Я могу неравенство х>=-1 преобразовать как -х<=1 и вместо -х поставить модуль(х)
Или как быть в таком случае?


С другой стороны, вероятность искажения сигнала "1" , это Р(x<-1). Что делать со знаком "-"?

Что-то мне не нравится формула P(X < 1,4) = 2Ф(1,4/0,7). откуда тут множитель 2? По этой формуле вычисляется P(|X| < 1,4). Это и ответ на второй вопрос: Вы пользуетесь формулой с модулем, а у нас никаких модулей нет.

Смотрите: Если функция Лапласа определяется как Ф(с)=int_(0..c) (1/sqrt{2*pi}) * exp(-x^2/2)dx, то для стандартной нормальной случайной величины Y
P(Y < c) = int_(-oo..c) (1/sqrt{2*pi}) * exp(-x^2/2)dx = тот же интеграл от минус бесконечности до нуля + Ф(с) = 1/2 + Ф(с).

Но если использовать последнюю приведенную вами формулу, то данные в задаче мат. ожидание и дисперсия вообще не используются, а обычно, если дано, то надо как-то применить. Я в итоге пришел к такому решению задачи, не уверен, конечно, что правильно, но тем не менее вот:

Пусть случайная величина Х – уровень помех.

Для нормально распределенной функции вероятность рассчитывается по следующей формуле:
Р(a<x<b)=Ф((b-m)/сигма)-Ф((а-m)/сигма),
где m=0 – математическое ожидание, сигма=0.7 – среднеквадратическое отклонение.

Предположим, что передавался сигнал «0», тогда уровень полученного импульса в случае не искажения сигнала будет 0В+Х.

Тогда, вероятность того, что при передаче сигнал «0» не исказился будет равна:
Р(-оо<x<1,4)=Ф(1,4/0,7)-Ф(-оо/0,7)=Ф(2)-Ф(-оо)=0,9772-0=0,9772
Соответственно, вероятность искажения сигнала «0» будет равна 1-0,9772=0,0228

Теперь предположим, что передавался сигнал «1», тогда уровень полученного импульса в случае не искажения сигнала будет 2,4В+Х.
В случае не искажения сигнала «1», на выходе будет иметь место неравенство, исходя из условия задачи, 2,4+Х≥1,4 или Х≥-1. А при превращении сигнала «1» в «0» уровень помехи должен быть менее чем -1В.

Тогда, вероятность того, что при передаче сигнал «1» исказился будет равна:
Р(-оо<x<-1)=Ф(-1/0,7)-Ф(-оо/0,7)=Ф(-1,429)-Ф(-оо)=0,0764-0=0,0764
Соответственно, вероятность не искажения сигнала «1» будет равна 1-0,0764=0,9236

Вероятность правильного приема сообщения, если было передано «100» равна:
Р=0,9236*0,9772*0,9772=0,8820
Так как события по передаче каждого из трех сигналов независимы, то расчет вероятности правильной передачи сообщения производим как произведение вероятностей не искажения сигналов «1», «0» и «0».

Совершенно правильно, отличное рассуждение.

В моей формуле выше Y было случайной величиной со стандартным нормальным распределением, для которого m=0, сигма=1. Для него P(a < Y < b ) = Ф(b ) - Ф(a). А если m и сигма иные, вероятности преобразуются как у Вас, поскольку привести к стандартному нормальному распределению величину X с такими параметрами можно как Y = (X - a)/сигма.