Дана цепь Маркова с множеством состояний {1, 2, 3}, матрицей переходных вероятностей (Pij) и стационартным распределением ПИj. Показать, что ели P11=P22=P33=0 и ПИ1=ПИ2=ПИ3=1/3, то P12=P23=P31 и P13=P21=P32.

Логично было бы сказать, что элементы вектора ПИ - совственные значения матрицы Р и пытаься составить какие-то уравнения. Может я и туплю где-то, но у меня это чет не очень получается...

В последнем равенстве, наверное, P13=...
Используйте равенство ПИ^T * P = ПИ вместе с условием, что матрица P является стохастической, т.е. сумма вероятностей по любой строке =1.

Т - это что такое???

да, там Р13, прошу прощения за опечатку.

Транспонирование вектора-столбца.

ясно
в итоге мы получаем ПИ*Р=(1/3*(P12+P31);1/3*(P21+P32);1/3*(P13+P23)) и как бы все, что мы можем получить от перемножения:(

Вообще-то мы систему уравнений должны получить.

это понятно, но в итоге мы получаем 3 уравнения и 6 переменных

Похоже, неумение читать становится проблемой не только в США:

итак, берем ПИ^T и умножаем на матрицу, в итоге получаем ПИ.
(1/3, 1/3, 1/3) * P = столбец ПИ
получаем, что строка равна столбцу!!!

Ну пусть ПИ^T * P = ПИ^T. Вы задачу-то будете решать?

Конечно. Уже решаю.
после перемножения столбца на матрицу получили, что столбец, т.е. результат произведения равен столбцу ПИ.
получили вот такой столбец:
1/3*(P12+P13)
1/3*(P21+P23)
1/3*(P31+P32)
даже, если мы учтем то, что у нас в матрице эелементы одной строки в сумме дают 1 это нам ничего не даст. Что я делаю не так???

Скажите пожалуйста, являются ли элементы вектора ПИ, который является стационарным распределением, собственными значениями матрицы переходных состояний. У меня не очень получается решить, так как Вы сказали, и поэтому я решил попробовать другим методом. Исходя из того, что по сути я написал в вопросе ищем собственные значения матрицы Р, получаем уравнение 3 степени относительно лямбда и приравниваем его к 0. А вот дальше можно сказать, что якобы требуемое условие выполняется и обозначить равные элементы например за а и в, но в итоге получил уравнение 2-й степени (воспользовавшись свойством а=(1-в)), но это уравнение не имеет корней, т.к. дискриминант меньше 0. Поэтому я прошу Вас подтвердить или опровергнуть мое предположение относительно элементов вектора ПИ и собств значениями матрицы.

Вы до сих пор не составили систему уравнений. Не буду повторять, какую, уже трижды повторено.

Нет, НЕ являются.

ПИ^T*Р=(1/3*(P12+P31);1/3*(P21+P32);1/3*(P13+P23)) и, как я понимаю, приравниваем к ПИ^Т, т.е. к вектору (1/3, 1/3 , 1/3), отсюда можно сделать вывод, что, например, 1-й элемент 1-го вектора равен 1-му элементу 2-го вектора, т.е сначала мы получили равенство: (1/3*(P12+P31);1/3*(P21+P32);1/3*(P13+P23)) = (1/3, 1/3 , 1/3), затем приравниваем элементы и получаем систему:
P12+P31=1
P21+P32=1
P13+P23=1
так???

Вы неправильно умножили вектор на матрицу. Как выглядит матрица переходных вероятностей? Вы её транспонировали зачем-то.

Впрочем, это не очень важно, если оставшиеся три уравнения напишете для той же матрицы. Так где ещё три уравнения?

т.е. вот эти:
Р12+Р13=1
Р21+Р23=1
Р31+Р32=1

Та-а-ак. Матрицу P в студию.

0 P12 P13
P21 0 P23
P31 P32 0

Замечательно, теперь при мне умножайте

Это можете?

если вышенаписанное верно, то, решив систему, получим, что все элементы матрицы Р, кроме тех, что на диагонали ( по условию они равны 0) равны 0,5

Умножаем строку на столбец:
получаем - (1/3*0+1/3*P21+1/3*P31; 1/3*P12+1/3*0+1/3*P32; 1/3*P13+1/3*P23+1/3*0)
вроде так.

Откуда это??


Да. Теперь уже составьте наконец систему из 6 уравнений и докажите то, что требуется.

получим систему:
Р12+Р31=1
Р21+Р32=1
Р13+Р23=1
Р12+Р13=1
Р21+Р23=1
Р31+Р32=1


так???

1/3*0+1/3*P21+1/3*P31= 1/3
1/3*P12+1/3*0+1/3*P32=1/3
1/3*P13+1/3*P23+1/3*0=1/3
как я понял, после умножения мы можем приравнять соответсвующие элементы векторов.
сократив на 1/3 получаем:
P21+P31= 1
P12+P32=1
P13+P23=1

это первые 3 уравнения системы.

НЕТ! Вы что, накурены? Не можете вектор, только что полученный, правильно записать? Откуда первые три уравенения взялись?


Какой осёл, молодые люди, посоветовал вам обоим пойти в инженеры? Вы же элементарную инструкцию для дебилов выполнить не можете.

(1/3*0+1/3*P21+1/3*P31; 1/3*P12+1/3*0+1/3*P32; 1/3*P13+1/3*P23+1/3*0) = (1/3, 1/3, 1/3) по тому условию, что Вы написали в самом начале. И первые уравнения взялись именно отсюда!!!

т.е. я приравнял 1-й элемент вектора, который слева от знака "=" к первому элементу вектора, который стоит справа от знака "=". и так с каждым элементом. и так получил первые три уравнения.

Всё, извините, хватит. Можете показать решение, я скажу "да" или "нет". Учить буковки писать - в детский сад.

система выглядит так:
Р21+Р31=1
Р12+Р32=1
Р13+Р23=1
Р12+Р13=1
Р21+Р23=1
Р31+Р32=1
и соответственно
из 2-го и 4-го уравнения: Р13=Р32
из 1-го и 5-го уравнения: Р23=Р31
из 3-го и 5-го уравнения: Р13=Р21
из 2-го и 6-го уравнения: Р12=Р31
следовательно мы доказали то, что требовалось, т.е.
Р12=Р23=Р31
Р13=Р21=Р32
теперь правильно?

Теперь абсолютно правильно, молодец.

Спасибо за терпение!!! Вы мне очень помогли!!!