Здравствуйте, помогите пожалуйста решить задачу.

Случайные величины E(1) , E(2) независимы и имеют одно и тоже показательное распределение : P{E(i)<=x}=1-exp(-x), x>=0 , i=1,2
Необходимо найти P{|E(1)-E(2)|<=1}.


Начал решать:
F(e)=P{|E(1)-E(2)|<=x}
P{|E(1)-E(2)|<=x} - если найти , чему равно и подставить в F(1) получится ответ.
Раскрыл модуль
P{|E(1)-E(2)|<=x}=P{-x<=E(1)-E(2)<=x}=P{E(2)-x<=E(1)<=x+E(2)}
В итоге получил
P{E(2)-x<=E(1)<=x+E(2)}=?????
Что дальше делать - не знаю, застрял. Помогите пожалуйста.

Записать двойной интеграл от плотности совместного распределения величин E(1) и E(2) по области |x-y| <= 1. Вычислить. Как выглядит плотность совместного распределения двух независимых случайных величин?

То есть по определению:
/ /
| |P(E1,E2)(x1,x2) dx1 dx2
/ /
D
---------------------------------------
Тогда немного не понятно, как будет выглядить подинтегральная функция.

Да. Подынтегральная функция будет выглядеть так, как выглядит плотность совместного распределения двух независимых случайных величин.

То есть получается (наверное ошибаюсь все же):

/ /
| |(1-exp(-x)dxdy=...
/ /
|x-y|<=1
Правильно?

Нет, неправильно. У Вас есть какие-то принципиальные соображения, по которым Вы не хотите прочесть, что такое показательное распределение, как выглядит у него плотность, что такое независимые случайные величины и как плотность их совместного распределения связана с их плотностями?

Я (честно) много раз перечитал , что такое показательное распределение и совместное распределение.
Но вот не могу понять , как применить здесь (практически) плотность совместного распределения.

Не верю. Как выглядит плотность распределения случайной величины E(1)?

по определению:
F(E1)=exp(-x)
Я вот никак не могу подставить нормально значения в формулу совместного распределения((((( Очень нужна помощь.

Вы хотели сказать, наверное, f(x)=exp(-x), да ещё и только при х>0. Небрежность с аргументами функций скоро выйдет боком.

Хорошо. Если две случайных величины X и Y независимы и у них есть плотности, чему равна плотность распределения вектора (X,Y)?

Вроде тогда так.
............//
P(X,Y)=|| f(X,Y) DX DY
...........//
..........D

Большими буквами принято обозначать случайные величины. А переменные - маленькими. А дифференциал - маленькой буквой d.

Интеграл Вы уже писали. Но пока Вы функцию f(x,y) не найдёте, от этого интеграла проку никакого. Снова повторяю вопрос: если две случайные величины X и Y независимы и у них есть плотности, чему равна плотность распределения вектора (X,Y)?

Я ошибаюсь ( тк наверняка не знаю , но предположу ( не нашел нигде))

d(F(X,Y))/dxdy

dF(x,y)/dxdy. Ещё раз - функция зависит от переменных x и y. X и Y - это не переменные этой функции, а случайные величины: F(x,y)=P(X < x, Y < y).
А функция распределения вектора из независимых случайных величин как выражается через их функции распределения? Вообще определение независимости случайных величин было хоть одно?

Случайные величины X,Y называются независимыми , если для любого x1,x2 пренадлежащих R^2 выполняется следующее равенство
F{X,Y}(x1,x2)=F{X}(x1)*F{Y}(x2)
Так же две случайные величины называют независимыми, если значение одной из них не влияет на вероятность значений другой.

Отлично. Что будет, если продифференцировать это равенство по х1 и по x2? Какое равенство для плотностей получится?

F{X,Y}(x1,x2)=F{X}(x1)*F{Y}(x2)

тогда получится : F{Y}(x2)*d(F{X}(x1)/dx+F{X}(x1)*dF{Y}(x2)/dy
Должно быть так.

И что это Вы делаете? Плотность есть производная функции распределения. Совместная плотность - смешанная производная совместной функции распределения. По её аргументам. А не по чужим.

То есть ( я довольно смутно , просто себе представляю)
=F{X}(x1)*d(F{Y}(x2))/dxdy+d(F{X}(x1))/dxdy*F{Y}(x2)

Кто такие x и y, по которым Вы дифференцируете???
f{X,Y}(x1, x2)=dF{X,Y}(x1,x2)/dx1dx2

Да , действительно , я перепутал.
У меня вот вопрос , как тогда записать F{X,Y} ????

Вы записали: F{X,Y}(x1,x2) =F{X}(x1)*F{Y}(x2).
Продифференцируйте это равенство сначала по x1, потом по x2. Слева будет совместная плотность. Что будет справа?

справа будет
dF{X}(x1)/dx1*F{Y}(x2)+F{X}(x1)*dF{Y}(x2)/dx2 , дифференциал произведения.

Ну всё, я точно пас. При чём тут дифференциал произведения? Когда Вы по x1 дифференцируете, F{Y}(x2) - постоянный множитель. Потом по x2 дифференцируете, тоже вынося функцию от x1 как постоянный множитель.

А что за величина dF{X}(x1)/dx1, Вы знаете?

Я так и сделал , может выразился неправильно.
Что за величина dF{X}(x1)/dx1 - не могу точно сказать.

Вы сделали неправильно, а не выразились. Прочтите ещё раз - как вычислять смешанную производную.

Знаете что? Откройте-ка свои лекции, найдите там, как плотность находится по функции распределения. Потом научитесь вычислять смешанные производные по x,y от функций типа x^4*y^3. Потом можно будет вернуться к задаче, не раньше.

Смешанная произвдная от x^4*y^3 будет выглядить сдедающим образом
u=x^4*y^3
u'=4x^3*y^3+3*x^4*y^2
Плотностью распределения вероятностей первая производная от функции распределения F(x).

Это по какой переменной дифференцируете?

По x и по y, производная первого порядка.

Как-то "интересно" вы дифференцируете. А напишите общую формулу для вычисления первой производной от функции двух переменных. Понятие частной производной вам известно?

Да известно. Производные я брать умею. Формулу тоже знаю , считаю , что взял правильно , если нет , прошу поправить.Однако вопрос все равно открытый по поводу показательного распределения.

u' - это производная функции u по какой из переменных? Напишите, пожалуйста формулу, по которой считали.

Вот так
f=U(x,y)
f'=U'(x,y)dx+U'(x,y)dy

Вот по это й формуле я и считал.

Это вы нашли дифференциал функции двух переменных df, а я так понимаю, вас просят найти частную производную.

Тогда прошу прощения

f'(x,y)_y=3*x^4*y^2

f'(x,y)_x=4*x^3*y^3

В сообщениях malkolmа речь шла о смешанной производной. Для данной функции она равна...

Тогда , что надо дальше сделать
f(x1,x2)=|exp(-x1)-exp(-x2)|
f'(x1,x2)_x2=exp(-x1)+exp(-x2)
f'(x1,x2)_x1=-exp(-x1)-exp(-x2)
Но тк модуль , то f'(x1,x2)_x1==f'(x1,x2)_x2.

Так как же выглядит смешанная производная по x и по y от функции x^4*y^3 ?

d^2
------ (x^4*y^3) = ?
dx dy

После этого Вам нужно продифференцировать по х1 и по х2 произведение функций распределения F{X}(x1)*F{Y}(x2).
Это нужно затем, чтобы плотность совместного распределения двух независимых случайных величин найти, не зная определений.

Впрочем, мне уже заранее плохо от одной мысли о том, как потом мы будет вычислять интеграл...

А откуда взялась и что означает первая формула в Вашем последнем сообщении, я не в курсе. Функция |exp(-x1)-exp(-x2)| к данной задаче отношения не имеет.

Поскольку
d^2
------ (x^4*y^3) = 4x^3*y^3+3*x^4*y^2 - не правильно , осмелюсь
dx dy
предположить , что это
d^2
------ (x^4*y^3) = 12x^3*y^2
dx dy
Зачем тогда дана |exp(-x1)-exp(-x2)| ????????
!Плотностью совместного распределения! вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная от функции распределения.

Отлично. Теперь продифференцируйте так же, но по x1 и по x2, функцию распределения, которая из-за независимости равна произведению F{X}(x1)*F{Y}(x2).

Нигде никакая |exp{-x1}-exp{-x2}| не дана.

Получатся так:
d^2
----------(F{X}(x1)*F{Y}(x2)) = F'{X}(x1)*F'{Y}(x2)
dx1 dx2

Теперь нужно вычислять интеграл.

Замечательно. Производная от функции распределения есть плотность распределения: F'{X}(x1)=f{X}(x1), F'{Y}(x2)=f{Y}(x2). Тем самым мы выяснили, что плотность совместного распределения двух независимых случайных величин равна произведению их плотностей.
Запишите теперь, чему теперь равняется плотность совместного распределения f{X,Y}(x1,x2)=f{X}(x1)*f{Y}(x2) для наших случайных величин X=E(1) и Y=E(2), имеющих показательное распределение. Плотность показательного распределения Вы выше выписывали.

После этого запишите интеграл и укажите пределы интегрирования.

Получилось так
F(x1)=exp(-x1) F'=-exp(-x)
F(x2)=exp(-x2)
d^2
----------(F{x1,x2}) = exp(-x1)exp(-x2)
dx1 dx2

int int {exp(-x1)exp(-x2)}dx1 dx2=exp(-x1)*exp(-x2) - надо теперь подставить пределы, предположу , что от 0 до 1. Правильно?

Функция распределения показательного распределения НЕ РАВНА exp(-x1). Это вообще не может быть функция распределения - она убывает. А плотность не может быть отрицательна.
Попробуйте, пожалуйста, запомнить хотя бы основные характеристики основных распределений и их свойства.

Несмотря на это совместная плотность получилась верная, но только при x1 >0, x2 >0.

А что за неопределённый интеграл Вы считаете? Это двойной интеграл. По какой области D нужно интегрировать? Если подставить пределы от 0 до 1 и от 0 до 1, получится вероятность события 0<=E(1)<=1, 0<=E(2)<=1. Это не то событие, которое нужно.

Функция(при х<=0) и плотность(при х<0) показательного распределения равны 0.
Неопределенный интеграл я посчитал , тк не знаю области D, осталось подставить только пределы.
Событие которое нужно |E(1)-E(2)|<=1
Значит , необходимо узнать в каких пределах E(2) , чтобы узнать какие у E(1).
E(2)-1<=E(1)<=E(2)+1 //E(2)=1-exp(-x2)
-exp(-x2)<=E(1)<=2-exp(-x2) , при этом x1,x2>=0.Значит , -exp(-x2)- всегда отрицательна ,а при x2-> беск , стремится к 0
2-exp(-x2) имеет минимальное значение [1,2). 1 при x2=0 , 2 при x2-> бесконечности.
Значит , E(1)- лежит в промежутке от 0 до 2.

Равенства типа E(1) = exp(-x1) и т.п. не просто неверны - они бессмысленны. E(1) и E(2) у Вас в условии - случайные величины. Функции exp(-x1) и exp(-x2) - их плотности распределения.

Ещё раз: чтобы посчитать вероятность паре случайных величин (E(1),E(2)) попасть в какую-то часть D плоскости, нужно совместную плотность интегрировать по D.

Вопрос: что такое D, если нам нужно найти вероятность события {|E(1)-E(2)|<=1}?

D - это некоторая область , в которой в которой может находится вероятность события {|E(1)-E(2)|<=1}( сказано криво).

Неверно.

Спасибо , за помошь , я разобрался и решил.