собственно найти y', y'', y'(x0), y''(x0) для функции заданной неявно y + sin(x+1) =1, при x0 = п/2, y(x0) = 0, затруднение на стадии вычисления y'(x0) ибо выражение типа sin ( п/2 + 1 ) не похоже на ответ типовика.

Как находили производные?
Примеры:
http://www.prepody.ru/topic1854.html?hl=%ED%E5%FF%E2%ED%EE
http://www.prepody.ru/topic3728.html?hl=%ED%E5%FF%E2%ED%EE
Также посмотрите, как дифференцируется функции, заданные неявно.

Думаю, ошибка в условии. Ибо кокой смысл задавать функцию неявно, если она тут же может быть выражена явно:
y =1- sin(x+1).
Да и начальное х0 неподходящее.

Нет здесь ничего неявного!

y + sin(x+1) =1,

y=1-sin(x+1)
y'=-cos(x+1)
y''=sin(x+1)

дальше находите y'(Pi/2), y''(Pi/2)

y+ sin(x+1)=1
y' + cos(x+1)=0
y'=-cos(x+1)
y''=sin(x+1)
y'(x0)=-cos(п/2 + 1 )
y''(x0)=sin(п/2+1)
последние 2 строчки меня смущают, но есть подозрение, что наврал ранее

Точно нет. Чтож я такая сегодня невнимательная!? А я рассматриваю функцию y + sin(x+у) =1...

Примените еще формулы приведения: sin(Pi/2+x)=cosx, cos(Pi/2+x)=-sinx.

что-то мне кажется, что именно такой текст задания и должен быть. может в типовике опечатка?

А может опечатка в ответе? А какой ответ?

ответ в типовике? там нет ответов((, но у меня получилось
y'=-cos(x+1)
y''=sin(x+1)
y'(x0)=-cos(п/2 + 1 )
y''(x0)=sin(п/2+1)

После применения формул приведения получаем, что y'(x0)=-cos(п/2 + 1 )=sin1, y''(x0)=sin(п/2+1)=cos1.

хм, тоже вариант