Вычислить площади фигуры, ограниченных линиями:
p=4сosфи . Это случайно не полярные координаты?

Полярные.

площадь получается = 4?

А фигура ограничена только p=4сosфи?

да

фигура - окружность?
S=4pi

фи=альфа=0
фи=бетта=п/2 ?

Если для таких альфа и бетта применить формулу для вычисления площади в полярных координатах, то получим половину ответа, т.к. фигура представляет собой лепесток, расположенный в 1 и 4 четвертях и симметричный относительно оси х.

А разве r=4*сos фи не окружность?

Формула окружности r=const

Формула окружности с ценром в начале координат.

А r=4*cos(fi) - это окружность с центром в точке (2, 0) и радиусом R=2.
При вычислении площади интегрировать нужно от -pi/2 до pi/2. Либо от 0 до pi/2 и удвоить.

Мой "лепесток" действительно оказался окружностью!
Не подумал бы. Спасибо за новую информацию.

Разве кто то запрещает лепестку быть круглым

Тогда S=2pi?

Площадь круга: S=pi*R^2. У нас R=2.