подскажите пожалуйста с чего начать в этих 3 примерах(второй написано задача коши)

1. Замена y/x=z
2. Делите на х и приводите к уравнению Бернулли
3. Вначале записываете однородное, для него характеристическое и находите его корни.

1)Замена y=kx,потом получится уравнение с разделяющимися переменными
2)Замена z(x)=x*y
3)y''=z(x)

Если z=y/x => y=zx => y'=z'x+z и получится
2z'x+2z=z^2+6z+3

а второй вот такой получился: Нажмите для просмотра прикрепленного файла

а потом делим на 2х обе части?

вы решаете линейное уравнение y'+p(x)y=f(x). А у вас уравнение Бернулли получилось. По ссылочке ходили?


приводим к виду 2z'x=z^2+4z+3 и разделяем переменные.
Тогда
2dz/(z^2+4z+3)=dx/x
Проинтегрируете,потом выполните обратную замену z=y/x.

ну да ходили! похоже плохо сходила......

а теперь так:Нажмите для просмотра прикрепленного файла

практически:
-w'-w/x=-2lnx/x
Вроде так должно быть

х я забыла , а от куда "-"?

y'/y^2+(1/x)*(1/y)=2lnx/x
w=1/y
w'=-y'/y^2
А у нас имеется y'/y^2, делаем, чтобы это слагаемое было со знаком -, для этого левую и правую часть домножаем на (-1):
-y'/y^2-(1/x)*(1/y)=-2lnx/x
Делаем замену...

П.С. тогда w' должно быть со знаком "+"

Чего-то я совсем запутался)
xy' + y = 2y^2 * ln x, y(1) = 1/2
а) xy' + y = 0
x * dy/dx + y = 0, x * dy/dx = -y, dy/y = -dx/x
int dy/y = - int dx/x
ln |y| = - ln |x| + C
y = C/x
б) y = C(x)/x
Тогда y' = (C'(x) * x - C(x))/x^2
x * (C'(x) * x - C(x))/x^2 + C(x)/x = 2 * C^2(x)/x^2 * ln x
C'(x) = 2 * ln x * C^2(x)/x^2
dC(x)/C(x)^2 = 2 * ln x/x^2 dx
Интегрируем
-1/C(x) = -2 * int ln x d(1/x)
-1/C(x) = -2/x * ln x + 2 * int 1/x d(ln x)
-1/C(x) = -2/x * ln x + 2 * int 1/x^2 dx
-1/C(x) = -2/x * ln x - 2/x + C
C(x) = 1/(2/x * ln x + 2/x + C)
Тогда
y = C(x)/x = 1/(2 * ln x + 2 + Cx)
y(1) = 1/(2 + C) = 1/2 => C = 0
Ответ: y = 1/(2 * ln x + 2)

v=x; u=-2(lnx/x+1/x)+C ?

u=2(lnx/x+1/x)+C

u'v=-(2lnx)/x
u'=-(2lnx)/x^2
du=-(2lnxdx)/x^2
u=-2 int lnx*1/x^2 *dx=(u=lnx, du=dx/x; dv=dx/x^2, v=-1/x)=-2(-lnx/x +int dx/x^2)=-2(-lnx/x - 1/x)+C =
= 2(ln x/x + 1/x) + C

w=x{(2lnx)/x+2/x+C} подставила х=1 и получилось w=2+C затем заменили w=1/y, а y=1/2 получилось 2=2+С

Можно попроще
w = x * (2 * ln x * 1/x + 2/x + C) = 2 * ln x + 2 + Cx
y = 1/w => y = 1/(2 * ln x + 2 + Cx)
y(1) = 1/2
y(1) = 1/(2 + C) = 1/2 => C = 0

да, С=0. И тогда у(х)=...

2*dz/(z^2+4z+3)=dx/x. проинтегрировав получится: ln(y/x +1)-ln(y/x +3)=lnx а ещё вопрос такой когда "-" стоит в левой части, можно логарифм опустить?

y(x)=1/(2lnx+2)?

не опустить, а применить свойство:
lna-lnb=ln(a/b).


Так, и сверим

ln (y/x +1) - ln(y/x +3) = lnx + C
ln a - ln b = ln a/b
Тогда получим
ln ((y/x + 1)/(y/x + 3)) = ln x + C
ln (y + x)/(y + 3x) = ln x + C
(y + x)/(y + 3x) = C * x

Да.

Спасибо большое !

а тут такой ответ:(y')^2 +1=x*C ?

Нажмите для просмотра прикрепленного файла
y'''=dy''/dx
y''=z, a потом dz/dx -z=6x^2 -3x ?