помогите пожалуйста найти предел :
lim(x→0) (3^5x-2^x)/(x-sin 9x )
......остался посленее задание в типовике которое у меня никак не получается......

Может быть "пролопиталить" нужно?

Используем замену на эквивалентные бесконечно малые. sin 9x можно заменить на 9х.
Рассмотрим 3^(5x) - 2^x.
Докажем, что a^(bx) - 1 эквивалентно b * ln a * x при x -> 0.
a^(bx) - 1 и b * ln a * x -> 0 при x -> 0
Докажем, что они эквивалентны.
lim (x->0) (a^(bx) - 1)/(b * ln a * x) = | b * x = t | = lim (t->0) (a^t - 1)/(ln a * t) =
= | a^t = e^u => ln a^t = ln e^u => t * ln a = u | =
= lim (u->0) (e^u - 1)/u = 1
Доказали эквивалентность.
Тогда a^(bx) - 1 можно заменить на b * ln a * x.
Получаем, что
lim (x->0) (3^(5x) - 2^x)/(x - sin 9x) = lim (x->0) ((3^(5x) - 1) - (2^x - 1))/(x - 9x) =
= lim (x->0) (5 * ln 3 * x - ln 2 * x)/(-8x) = (5 * ln 3 - ln 2)/(-8).
Либо можно разбить предел на два и сделать так:
lim (x->0) (3^(5x) - 1)/(-8x) =
= | 3^(5x) = e^t => x = 1/5 * 1/ln 3 * t => t = 5 * ln 3 * x | =
= lim (t->0) (e^t - 1)/(-8 * 1/5 * 1/ln 3 * t) = 5 * ln 3/(-8) * lim (t->0) (e^t - 1)/t =
= 5 * ln 3/(-8).

Нельзя В РАЗНОСТИ заменять беск. малые на эквивалентные.

То же самое. Ответ получился правильным, но решение, считаю, некорректно.

Где хоть Вы это утверждение нашли? Ссылку в книжке авторитетного автора можете дать?

Да уж!
Даю ссылку на себя любимого
Я уже раз 5 (на этом и старом форуме) обсуждал эту проблему и приводил примеры. Придется еще раз.

Теорема. В произведении и частном бесконечно малые можно заменять на эквивалентные.

Применение этого утверждения для суммы и разности МОЖЕТ привести к неверному результату (но может и не привести - это зависит от вида старших слагаемых разложения в ряд). Привожу пример, когда такая замена приводит к неверному результату:

lim (x->0) (x^4 + sinx - x)/x^3

Тогда представить в виде разности пределов и сделать замену. Второе решение точно будет коррректным.

А мнение Вениамина для вас не авторитетное?

Только лучше обойтись без (-8х)

Можно было с самого начала вынести в числителе 2^x. а в знаменателе х и потом воспользоваться эквивалентностями.

Действительно обсуждалось не один раз. Мы даже с Ann (Нютой) по этому поводу спорили. Она меня убедила

А я бы так сделал (способ 1). Пример очень похожий.

А вот способ 2 содержит ту же некорректность
Хотя выше рекомендованы замены именно в произведении и частном.

Так я говорю про первый способ. А 2-й мы с вами уже обсуждали И с замечаниями я согласен. Но... Пусть студенты думают сами. Пока. Будет время, исправлю.