Подскажите, пожалуйста, как решить данное уравнение (1+e^(x/y))dx+e^(x/y)(1-x/y)dy=0

Это уравнение в полных дифференциалах,можно значит найти такую функцию u=u(x,y),что её дифференциал равен выражению слева.

Похоже, на уравнение в полных дифферециалах

Это понятно, вся проблема в e^(x/y), решение не получается

т.е.? какое решение?

наверное, еще нужна замена переменной e^(x/y), иначе ничего не выходит

а интеграл от e^(x/y) по yили х так и равен e^(x/y) ?

по х: уe^(x/y)
по у: хм...

Нет. На пример - int[e^(x/y)dx]=y*e^(x/y)+C , т.к. int[e^(kx)dx]=(1/k)*e^(kx)+C

Спасибо, сейчас попробую!!!

Теперь вся загвостка в этом же интеграле, но по dу

Вы решение своё напишите, потому как имеется несколько способов его решения.
Я когда считал, экспоненту по у не интегрировал.

Точно, по у интегрировать не надо! Огромное человеческое спасибо! Просто в методичке интегрируют и по х, и по у, а из решебника интегрируют по х и дифференцируют по у.

Можно и по у интегрировать, но взять точку О(0,1), тогда всё получится, по-крайней мере у меня вроде вышло всё.

А Вы не особо запоминайте,как в методичке делают.Запоминайте лучше то,почему делают именно так

для решения диф-ура необходимо разделить переменные - привести
M(x,y)dx+D(x,y)dy=0
к виду
F(x)dx=S(y)dy,
затем взять интегралы слева и справа.
уравнения вида dx+F(x/y)dy=0 легко разделяются заменой t=x/y. При этом уравнение будет выглядеть как
ydt+(t+F(t))dy=0 =>
-dy/y=dt/(t+F(t))
Первый интеграл тривиален, второй также - табличный.
Прим. при разделении переменных при делении проверить на возможные решения когда делитель равен 0!!! и добавить их к решению.
Итак
-ydt=(t+exp(t)*(1-t)/(1+exp(t)))dy;=>
-dy/y=dt*(exp(t)+t)/(1+exp(t)); интегрируете, подставляете значение t=x/y;