Помогите определить приделы интегрирования

Задача
Вычислите массу пластины ограниченного кривыми:
x^2+y^2=9
x^2+y^2=16
y=x
y=sqrt(3)*x
если плотность равна 6/sqrt(25-x^2-y^2)

Я несовсем понимаю как их определять
1. m=int(3,4)dx int(x,sqrt(3)*x)6/sqrt(25-x^2-y^2)dy где int(3,4) - интеграл от 3 до 4
или
2. m=int(3/2,sqrt(8))dx int(x,sqrt(3)*x)6/sqrt(25-x^2-y^2)dy

а также если не сложно подскажите как взять 2 часть придела
int(x,sqrt(3)*x)6/sqrt(25-x^2-y^2)dy=
6*int(x,sqrt(3)*x) (25-x^2-y^2)^(-1/2)dy
а дальше как?

Нужно перейти к полярным координатам: x = r * cos fi, y = r * sin fi.
Тогда 3 <= r <= 4, pi/4 <= fi <= pi/3

а как определили приделы для fi

и если так делать то интеграл будет выглядеть так:

int (3,4)dr int(pi/4 , pi/3) r*6/sqrt(25-r^2*(cos fi)^2-r^2*(sin fi)^2 dfi

и равен будет pi/2

можно еще вопросик

Найти момент инерции части поверхности z^2=x^2+y^2 (0<=z<=2) относительно оси Ох, если плотность равна sqrt(2)

Здесь надо использовать сферические координаты?
и интеграл будет выглядеть так?
Ix=int(0,2pi)dfi int(0,pi)d(тета) int (0,2) (r^2-cos fi)*sqrt(2)*r*sin fi * sin (тета) dr

Надо нарисовать область интегрирования и посмотреть. В данном случае это будет часть кольца.
Да, у меня получилось pi/2.

Если не ошибаюсь, то I_x = I_xy + I_xz, где
I_xy = int int int ro * z^2 dx dy dz, I_xz = int int int ro * y^2 dx dy dz.
Пределы интегрирования:
0 <= z <= 2, 0 <= r <= 2, 0 <= fi <= 2 * pi.
Надо перейти к цилиндрическим координатам:
x = r * cos fi, y = r * sin fi, z = z.

подскажите еще пожалуйста

Задание 1
Вычислить массу дуги кривой 4у=х расположенной в первой четверти и отсеченной прямой у=1/4 если плотность равна sqrt(1+x^6)

m=int(0,1)dx int(x/4,1/4)sqrt(1+x^6)dy
я дорешал
1/4int(0,1)sqrt(1+x^6)dx - 1/4int(0,1)x*sqrt(1+x^6)dx
и застрял немогу взять интеграл подскажите как дальше решать

Задание 5
Найти объем тела ограниченного поверхностями
x^2+y^2-4y=0
y=z/2
y=z

Сдесь совсем незнаю как расставить приделы интегрирования
Предпологаю что надо переходь в другие координаты

Подстановка
1+x^6=t^2

После преобразований внести t^2 под знак дифференциала

Не уверен, что в задании 1 применена правильная формула. Это формула для вычисления площадь пластинки, а здесь говорится о кривой.
В задании 5 надо перейти к полярным координатам.

Перейдите к цилиндрическим координатам x=r*cos f, y=r*sin f, z=z
Пределы интегрирования 0<=f<=Pi, 0<=R<=4*sin f, r*sin f <=z<=2*r*sin f
Вроде объем 8Pi получается.

если так то получается объем будет считатся не по 3му а по 2му интегралу?
и если я правельно сделал до должно получится так

int (0,2pi)dfi int(0,4sin fi) r*dr

так?



Формулу не подскажите я посмотрел в книгах есть только такая

m = intint pds где p-плотность

Вот так

int (0,pi)dfi int(0,4sin fi) r*dr int(rsin fi, 2rsin fi) dz


p.s fi меняется от 0 до Pi , а не от 0 до 2Pi

это уже не полярные координаты а цилиндрические

Ну а я о каких координатах вверху написал?

в итоге должно получится 24п/3 ?

8Pi



Масса = int po(x,y) dxdy, po(x,y) - плотность.

Можно в полярных, можно в цилиндрических. Разницы между ними особо нет. В полярных получаем
V = int int (2y - y) dx dy
Формула M = int int ro dx dy применима для пластинки... а здесь кривая

подскажите где ошибка

Нажмите для просмотра прикрепленного файла



Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна μ(z, y, z) выражается интегралом

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Материал из Википедии

64Pi/12+64Pi/24=192Pi/24=8Pi

блин аш стыдно стало, такая тупая ошибка

Всё правильно. Формулу для массы такую же нашел.

да это не ошибка, просто до конца не досчитал.

тогда подскажите как взять интегралы

1/4int (0,1)sqrt(1+x^6)dx-1/4int (0,1) x*sqrt(1+x^6)dx

из написанного раньше
1+x^6=t^2

теперь надо найти dx
мы в класе брали производную от 1+x^6=t^2 но здесь х не исчезает

6x^5 dx=2tdt
как найти dx ?

это неправельно?

m = int (0,1)dx int (x/4, 1/4)sqrt (1+x^6)dy

решая это получаю

1/4int (0,1)sqrt(1+x^6)dx-1/4int (0,1) x*sqrt(1+x^6)dx

p.s файл с решением прикрепить не получается

x=(t^2-1)^(1/6)

чето я совсем запутался

1+x^6=t^2
x=(t^2-1)^1/6
dx=1/6(t^2-1)^(-5/6)dt
нижний придел
1
верхний придел
sqrt(2)

так?

Блин, вот формула из книжки

m= int mu(x,y) dL, dL=sqrt(1+(y')^2)dx

У Вас mu=sqrt(1+x^6), y=x/4, 0<=x<=1, y'=1/4

m=int( sqrt(1+x^6)*sqrt(1+1/16) ) dx = int sqrt(17)/4 *sqrt (1+x^6) dx дальше решайте интеграл и подставляйте пределы интегрирования от 0 до 1

а когда делаем замену 1+x^6=t^2
приделы разве не должны изменится?

При замене пределы меняются. Надо проверить условие.
Так как интеграл от функции sqrt (1 + x^6), если я не ошибаюсь, в элементарных функциях не выражается.

что значит не выражается?

Я этот интеграл сейчас "ворочил" и у меня пока результатов нет. Мaple тоже отказывается его вычислять. Проверьте задание, нет ли там ошибок?

Вычислить массу дуги кривой 4y=x, расположенной в первой четверти и отсеченной прямой y=1/4, если плотность равна sqrt(1+x^6)

В Демидовиче написано, что такой интеграл не выражается в элементарных функциях.