У меня тут еще одна интересная задача на геометрическую вероятность
На окружность кидают наугад три точки, найти вероятность того, что они образуют остроугольный треугольник
Решея, пришел к выволду, что если треугольник остроугольный, то цент описаной вокруг него окружности лежит в нем и его сторона не больше, чем sqrt(2)*R
Дальше ничего не идет Help!

А ответ есть? Не знаю, правильно или нет, но у меня получилось 1/4.

Ответа нету
Как Вы решали?

Допустим, что три точки уже лежат на плоскости.
Введем систему координат.
Повернем окружность так (на сколько-то градусов), чтобы одна точка составляла 0 градусов с осью Ох, а вторая точка лежала бы в верхней полуплоскости. Если таких размещений несколько, то выберем то, где угол между радиусами этих двух точек минимален.
Пока ясно? Времени пока нет, остальное потом допишу.

ясно

Дальше.
Обозначим точку на оси Ох за точку № 1, точку № 2 выберем из верхней полуплоскости, а точка № 3 - оставшаяся точка.
Пусть угол между радиусами точек № 1 и № 2 равен х, а между № 2 и № 3 у.
Найдем вероятность по определению P = m/n.
Сначала n, то есть найдем все возможные варианты для x и у.
Так как точка № 2 лежит в верхней полуплоскости, то угол х меняется от 0 до pi.
Угол y меняется от 0 до 2pi - 2x.
То, что y > 0 понятно. Как получилось 2pi - 2x.
Так как точку № 2 выбирали так, что угол между радиусами первой и второй точек меньше, чем угол между радиусами второй и третьей точек, то y < 2pi - 2x.
Лучше нарисовать окружность и посмотреть. Пусть у нас есть точка № 1 и № 2. И угол между ними х. Куда может попасть точка № 3.
Она не может попасть в ту часть окружности, которая ограничена радиусами точек № 1 и № 2, так как это противоречит выбору точки № 2. И она не может попасть в такую же область, но симметричную первой относительно оси Ох. Получаем, что из 2pi возможностей попадания точки № 3 надо исключить 2х.
Тогда получаем, что 0 < x < pi, 0 < y < 2pi - 2x.
На плоскости получаем треугольник, площадь его равна pi^2 =>
n = p^2
Теперь найдем m.
Ограничения на х те же.
Теперь относительно у. Определим, куда должна попасть точка, чтобы получился остроугольный треугольник.
Две области мы уже исключили из рассмотрения.
Так же не подходит область, ограниченная радиусом точки № 2 и левой частью Оси Ох. Так как тогда угол № 2 был бы вписанным и опирался бы на дугу, большую 180 градусов, то есть был бы тупым.
Остается область между левой частью оси Ох и радиусом точки, симметричной точке № 2 относительно оси Ох. Несложно убедиться, что эта области целиком подходит. Там
0 < x < pi, pi < y < 2pi - 2x.
Получаем треугольник, площадь которого равна pi^2/4 = m.
Тогда P = 1/4.
Объяснение конечно не очень, но что смог. Надо нарисовать и посмотреть на чертеже, будет понятнее.

Спасибо за содержательный ответ
у меня была несколько другая теория, где последовательно ставят наокружность 2 точки на угад, а чтобы треуголик был остроугольным необходимо чтобы последняя точка лежала в другой полуплоскости т е вероятность составит 1\2

Не знаю насколько мое решение правильное, может быть ещё у кого-нибудь есть соображения? Задача действительно интересная.

Это похоже на правду.


Вот это выглядит опасно. Так можно "склеить" разные события и потерять вероятность.

Согласен, что опасно)

Нисколько. Берём одну точку под 0 градусов, другую под -5, третью - в дргуой полуплоскости - под +5 градусов. Треугольник тупоугольный.

Ответ 1/4, разумеется, верный. Но решение, предложенное выше, опасно вот чем. Попробую описать, но не уверен, что буду понятен.
Исходное вероятностное пространство уже задано тем, что точки выбираются независимо друг от друга и наудачу. Поэтому пространство исходов есть куб [0, 2*pi]^3, вероятности событий считаются как объемы в этом кубе. Координаты точек в этом кубе - центральные углы от некоторой начальной точки окружности до каждой из точек. Можно одну из точек зафиксировать - например, первую брошенную (тем самым рассмотреть срез куба плоскостью x_1=const). В каждом таком срезе площадь благоприятной области одна и та же (от положения x_1, т.е. поворота окружности, не зависит). Поэтому можно координату x_1 поставить в нуль, и рассматривать выбор только двух точек наудачу и независимо на окружности. Это то же самое, что выбор точки (x_2, x_3) наудачу в квадрате [0,2*pi]^2. Слова "то же самое" означают, что переход от выбора наугад двух точек на окружности к выбору наугад точки в квадрате не изменил вероятностей никаких событий. Если теперь в координатах x_2 и x_3 рассмотреть область благоприятных исходов (она элементарно рисуется - каждый из трех центральных углов должен быть < pi. Например, при x_2 < x_3 это неравенства x_2 < pi, x_3-x_2 < pi, x_3 > pi), то площадь этой области, деленная на 4*pi^2, есть верный ответ, т.к. это в точности исходная задача.

В решении выше предлагается ввести две новые координаты - x и y, которые хитрым образом связаны со всеми тремя точками x_1, x_2, x_3, и в плоскости переменных x,y вместо исходной задачи рассматривать выбор точки (x,y) наудачу в трапеции 0 < x < pi, 0 < y < 2*pi-x. И вычислять вероятности событий про x и y как отношения площадей. Но ниоткуда не следует, что в этих двух экспериментах вероятности событий будут одинаковыми.

В качестве примера задачи, где такая редукция приводит к неверному ответу, можно привести классическую (М.Гарднер): одна точка наугад выбирается на отрезке, другая - наугад на большей из двух получившихся частей отрезка. Какова вероятность составить треугольник из трех полученных кусочков?

Если просто выписать ограничения на координаты, получится {x>1/2, y<x}U{x<1/2, y>x}. Если теперь считать вероятности как отношения площадей в этой области, то ответ получится 1/3. Он неверный. Правильный ответ 2*ln(2)-1. Объяснение - исходная задача не равносильна выбору точки наугад в данной области, в этом эксперименте вероятности совсем другие.

Можно (если термин "совместное распределение" не пугает) так сказать: в исходной задаче тройка (x_1,x_2,x_3) имела равномерное распределение в кубе. Или полагая x_1=0, имеем пару (x_2,x_3) с равномерным распределением в квадрате. Мы вместо них завели x и y как какие-то функции от(x_1,x_2,x_3) и решили, что пара (x,y) равномерно распределена в трапеции. Вот этот последний вывод совсем не обоснован.

Хотя в данном случае он верен

Да. "В одной плоскости" должно быть для каждой точки, а не для одной.