Задача:
Дано множество Е на прямой, причём inf(|Xn-Xm|)=a>0 (inf по n,m и n-не равен m), где Xn,Xm - любые точки Е. Доказать, что множество Е не имеет предельных точек

пробывал решать от противного, но что-то не смог довести доказательство до завершения, может из-за того, что не могу понять для чего здесь нужна нижняя граница

Пожалуйста, подскажите план доказательства, если сможете)

Здравствуйте, я решил вашу задачу и оформил её latex-ом так что само решение находится в прикреплённом файле в формате pdf. Саму задачу естественно решать в категории метрических пространств, в виду того что само множество E в этой задаче рассмативается как метрическое пространство ибо на ней вводится метрика inf(|?,??|) которая неестественна для прямой, именно поэтому акцентируется внимание на точной нижней грани, в противном бы случае мы не получили бы метрического пространства, хотя об этом я и упомянул в решении...
Сама теория метрических пространств есть например в замечательной книги А.Н.Колмогоров "Элементы теории функции и функционального анализа", для знакомства с этой теорией, в принципе, достаточно начальных знаний по математическому анализу...
Надеюсь что я Вам помог...

Это простое утверждение. Допустим, что предельная точка есть. Тогда существует последовательность {Хn} точек из Е, сходящаяся к этой предельной точке. По определению сходимости по Коши для любого епсилон существует N такое, что для всех n и m больших N : |Xn-Xm|меньше епсилон. Осталось взять епсилон=а, как получим противоречие с условием, так как по условию должно быть для ВСЕХ n и m : |Xn-Xm| больше или равно а.