Помогите, пожалуйста, найти объем области, заданной неравенствами:
9 * x^2 + 9 * y^2 >= z^2, x^2 + y^2 <= 4, x >= 0, y >= 0, z >= 0.

9 * x^2 + 9 * y^2 >= z^2, x^2 + y^2 <= 4, x >= 0, y >= 0, z >= 0.
Перейдем к цилиндрическим координатам:
x = r * cos fi, y = r * sin fi, z = z.
9 * x^2 + 9 * y^2 >= z^2 => 9 * r^2 * cos^2 fi + 9 * r^2 * sin^2 fi >= z^2 =>
=> z^2 <= 9 * r^2 => z <= 3 * r.
Получаем, что 0 <= z <= 3 * r.
Найдем пределы интегрирования по r и fi.
x^2 + y^2 <= 4 => r^2 * cos^2 fi + r^2 * sin^2 fi <= 4 => r^2 <= 4 => r <= 2 =>
=> 0 <= r <= 2.
x >= 0 => r * cos fi >= 0 => cos fi >= 0
y >= 0 => r * sin fi >= 0 => sin fi >= 0
sin fi >= 0, cos fi >= 0 => 0 <= fi <= pi/2.
Получаем, что
V = int (0 pi/2) dfi int (0 2) r dr int (0 3 * r) dz = pi/2 * int (0 2) r dr (z)_{0}^{3 * r} =
= pi/2 * int (0 2) (3 * r) dr = pi/2 * (3 * 1/2 * r^2)_{0}^{2} =
= pi/2 * (3/2 * r^2)_{0}^{2} = pi/2 * (3/2 * 2^2 - 3/2 * 0^2) = pi/2 * 3/2 * 4 = 3 * pi.
Ответ: V = 3 * pi.