Доброго времени суток.
Ломаю голову уже неделю.
Никак не могу понять, как вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
x^2 + y^2 = 1, z = 0, x + y + z = 2.
Заранее признателен за ответ!

x^2 + y^2 = 1, z = 0, x + y + z = 2 => z = 2 - x - y
Получаем, что 0 <= z <= 2 - x - y.
Найдем пределы интегрирования по х и у.
x^2 + y^2 <= 1.
Переходим к цилиндрическим координатам:
x = r * cos fi, y = r * sin fi, z = z.
Тогда
x^2 + y^2 = r^2 * cos^2 fi + r^2 * sin^ fi = r^2 <= 1 => r <= 1.
Получаем пределы: 0 <= r <= 1, 0 <= fi < 2 * pi.
Тогда 0 <= z <= 2 - r * cos fi - r * sin fi
Отсюда получаем, что
V = int (0 2pi) dfi int (0 1) r dr int (0 2 - r * cos fi - r * sin fi) dz =
= int (0 2pi) dfi int (0 1) r dr (z)_{0}^{2 - r * cos fi - r * sin fi} =
= int (0 2pi) dfi int (0 1) r * (2 - r * cos fi - r * sin fi) dr =
= int (0 2pi) dfi int (0 1) (2 * r - r^2 * cos fi - r^2 * sin fi) dr =
= int (0 2pi) dfi (2 * 1/2 * r^2 - 1/3 * r^3 * cos fi - 1/3 * r^3 * sin fi)_{0}^{1} =
= int (0 2pi) dfi (r^2 - 1/3 * r^3 * cos fi - 1/3 * r^3 * sin fi)_{0}^{1} =
= int (0 2pi) dfi ((1^2 - 1/3 * 1^3 * cos fi - 1/3 * 1^3 * sin fi) -
- (0^2 - 1/3 * 0^3 * cos fi - 1/3 * 0^3 * sin fi)) =
= int (0 2pi) (1 - 1/3 * cos fi - 1/3 * sin fi) dfi =
= (fi - 1/3 * sin fi + 1/3 * cos fi)_{0}^{2pi} =
= (2 * pi - 1/3 * sin (2 * pi) + 1/3 * cos (2 * pi)) - (0 - 1/3 * sin 0 + 1/3 * cos 0) =
= 2 * pi + 1/3 - 1/3 = 2 * pi.
Ответ: V = 2 * pi.