Пробовала изменять выражение под знаком корня, знаменатель, но ничего не получается.

lim(x→0) x(умножить)корень из 1- cos4x/ sin^2 3x

Эквивалентные бесконечно малые

Т.е. 0/0 , а что же делать дальше?

Посмотрите таблицу эквивалентных бесконечно малых.

Т.е. знаменатель можно просто заменить на x, а в числители x(корень из) -1 - 4sin x ( и здесь sin x меняем просто на x?

Не совсем, у вас в знаменателе не просто sinx

Это как получили?

Раскрыла cos 4x.

Наверняка, следует cos4x просто заменить на 2sin^2 2x, верно?

Честно, все равно не поняла как

Наверняка, надо посмотреть, чему эквивалентно выражение 1-cosx при х->0

И затем выражение под корнем 1 - 2sin^2 2x заменить на cos 4x?

Я вам выше написала, что надо делать.

x^2/ 2

Так, теперь аккуратно все величины заменяйте на эквивалентные им

Спасибо большое, мы только 4 день занимаемся пределами и я не совсем все уяснила.

А если возвести все члена выражения в квадрат? Или это не следует делать?

Это нормально, немного практики и разберетесь

Какого выражения?

Моего примера.
Вы не могли бы подсказать, вот я заменила ( 1 - cos 4x ) на ( 2sin^2 2x) , что следует делать дальше?

Зачем вы это сделали? Можно конечно, далее синус заменяйте эквивалентной б/м, но вы же выше писали, что 1-cosx~x^2/ 2

Хорошо , тогда под корнем получается просто 8x^2

да

А дальше , что делать?

синус в знаменателе заменяйте

sin3x на 3sinx - 4sin^3x

на эквивалентную б/м

Да, понятно , получается 3X или 9X...

бесконечно малая

И получаем в знаменателе под знаком корня 3x или 6x ( не очень понятно как можно избавиться от 2, просто поставив перед sin?)

А корень и на знаменатель распространяется? Тогда еще раз читабельно условие
Чему эквивалентен синус?

Корень распространяется только на числитель, sin(a(x)) эквивалентен a(x)

заменяйте знаменатель

Получается 3x, куда двойку деть я не знаю.

Какую двойку?

В знаменателе sin в 2.

а, степень?! Эквивалентная величина возводится в эту же степень

Да, я поняла)

И получается lim(x-0) x(корень из) 8x^2/ 9x^2 и ответ будет 8 / 9 ?

Только +1sqrt(8)/9, sqrt - корень квадратный
Если х стремится к нулю справа, то знак "+"; слева - знак "-", т.е. предел не определен.

Если написано, что он просто стремиться к нулю вне зависимости справа или слева?

Я вижу, в этом случае неопределенность, т.к. при стремлении с разных сторон получаются разные результаты

Хорошо, спасибо за помощь!)