Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности:
(Закон Парето)
Найти функцию распределения.

Итак, функция распределения выражается через плотность вероятности несобственным интегралом с переменным верхним пределом.

!! Вопрос: для интегрирование берется промежуток допустим x<-1, или -1<x<0. Так вот, если это возможно, прошу, объясните как определить какие промежутки брать для интегрирования, какое основание для этого. К сожалению в учебниках об этом сухо, непонятно, необходимо "на пальцах" объяснить.
Заранее благодарю за время и силы потраченные для ответа.

Нарисуйте (условно) график данной плотности (отразив его самые существенные особенности - где он ноль, где не ноль, из скоьких кусков склеен). "Несобственный интеграл с переменным верхним пределом", про который Вы говорите, есть просто площадь подграфика под плотностью начиная от минус бесконечности до бегающей по оси абсцисс точки x. Т.е. площадь "слева от x".
Вот и посмотрите, взяв разные x на оси, какими будут вычисления площади под графиком плотности от минус бесконечности до этого самого x: что за функции при этом придётся интегрировать (если придётся). Например, при x = 1 какова будет площадь под графиком плотности слева от x? При x = -3? При x = 5?

Спасибо огромное за помощь, я так и начала, построила график плотности (использовала программу) и тут начались опять вопросы, почему то этот мой график не соответствует условию, получается что при x>2 он ноль, а вот при x<2 он как раз таки не ноль как должен быть.

Если возможно подскажите - это я запуталась или условие?

Ничего не понимаю. Вы не видите в условии, при каких x плотность нулевая? Там это открытым текстом написано...

Я вижу, при x<2 , только вот в графике не так получается...

Правильно я понимаю, что несмотря на написанное "f(x)=0 при x <2", Вы строите график как-то иначе? А смысл?

Нет, нет, я все правильно строю график, меня просто смущало что график с разрывом получается - сходила к преподавателю, он подтвердил что действительно это так... Простите что запутала.
Но вопрос, могу ли я обойтись интегрированием по 2-м интервалам: -бесконечности<x<2 и x>2, то есть получется что

F(x)= 0 при x<2; (x^3-8)/x^3 при x>2 ?

Функция распределения найдена верно. Если сомневаетесь, проверьте свойства, которым она обязана удовлетворять как функция распределения (знаете такие?), и непрерывность (которая обязана быть у F(x) из-за наличия у распределения плотности).

Премного благодарна за помощь!!! Свойства теперь знаю все вроде правильно получается.