Попросили решить пределы, а я их уже год не решала. Со всеми справилась кроме этих. Помогите пожалуйста! Их нужно сдать завтра, максимум послезавтра.


lim [((27+x)^1/3)-((27-x)^1/3)]/[(x^2/3)+(x^1/5)]
x->0

lim [(5^(2x))-(2^(3x))]/(sinx+sin(x^2))
x->0

Можно ли использовать правило Лопиталя или замену бесконечно малых на эквивалентные?
В первом можно обойтись и без этого (домножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражений, стоящих в числителе - для получения там формулы для разности кубов), а во втором - вряд ли.

Нет, это они еще не проходили.

1. Числитель и знаменатель умножьте на [(27+x)^(2/3)+((27-x)(27+x))^(1/3)+(27-x)^(2/3)]

Тогда

В числителе получается разность кубов
[((27+x)^1/3)-((27-x)^1/3)]*[(27+x)^(2/3)+((27-x)(27+x))^(1/3)+(27-x)^(2/3)]=(27+x)-(27-x)=2x


В знаменателе
[(x^2/3)+(x^1/5)] *)]*[(27+x)^(2/3)+((27-x)(27+x))^(1/3)+(27-x)^(2/3)]=x^(1/5)*(x^(7/15)+1)*[(27+x)^(2/3)+((27-x)(27+x))^(1/3)+(27-x)^(2/3)]

После сокращения на x^(1/5) получаем

В числителе
2x^(4/5)

В знаменателе
(x^(7/15)+1)*[(27+x)^(2/3)+((27-x)(27+x))^(1/3)+(27-x)^(2/3)]

т.е
[2*0]/{(0+1)*[(27+0)^(2/3)+((27-0)(27+0))^(1/3)+(27-0)^(2/3)]}=0






2) Воспользуйтесь эквивалентными бесконечно малыми
5^(2x)~1+2*x*ln5
2^(3x)~1+3*x*ln2
sin x~x, sin (x^2)~x^2
Ответ: 2ln5-3ln2


Фу, устал набирать

Большое спасибо! Спасаете.

а во втором нужна замена?

Написал выше

Сорри , не заметила. Спасибо!!!!!!