∫ от 0 до 1 (x^(q-1) - x^(-q))/(1-x) dx

Правила форума
Что делали? Что не получается?

нужно сначала продифференцировать подынтегральное выражение?

А что это даст?
Может попробовать в числителе общий множитель вынести за скобки?

∫ от 0 до 1 (x^(q)(x^(-1) - 1^(-1))/(1-x) dx и что теперь? Это не относится к теме "Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов"?

Относится, т.к. интеграл несобственный. Приведите в числителе к общему знаменателю.

∫ от 0 до 1 (x^q)/x правильно?

покажите все преобразования

∫ от 0 до 1 (x^(q)(x^(-1) - 1^(-1))/(1-x) dx = ∫ от 0 до 1 (x^q((1-x)/ x))/(1-x) dx = ∫ от 0 до 1 (x^q(1-x))/x(1-x) dx = ∫ от 0 до 1 (x^q)/x dx

А как в числителе 1 в степени вылезла? А если там раскрыть скобки, исходное выражение получится?

Может попробовать сделать замену t = 1 - x?

Мы сегодня гамма и бетта функции разбирали, сказали нужно к ним привести.

Тогда надо использовать определение бета функции.

B(p,q)=∫ от 0 до 1 x^(p-1) (1-x)^(q-1) dx
Мы в классе делали замену, чтобы привести их к этому виду.
А какую замену лучше сделать здесь?

А можно, например, почленно поделить подынтегральное выражение и таким образом разделить на 2 интеграла?

Так и надо сделать. Там точно степень -q?

Да, точно.

Сведите к бета-функции. Правда надо еще вспомнить, какая у нее область определения.

Получилось В(0,q) и B(0, -q-1). Потом через Гамма вычислить?

Скорее должно получиться B(q,0) - B(-q+1,0).
Попробуйте теперь через гамма.

А как это получилось то? И как через гамма выразить?

По определению Бета-функции.

Меня сегодня преподаватель ввел в тупик Второй раз похожу с этим примером и она опять говорит, что не так решать надо... Представить интеграл как I(q). И что теперь? Продифференцировать подынтегральное выражение? или как это делать?

Ну да, похоже продифференцировать.

А по какой переменной?

Здесь одна переменная тогда будет.

там упростить ведь можно? у меня выше где-то было. я не правильно где-то сделала?

Вы сначала продифференцируйте.

x - переменная, q - константа?

что-то у меня плохо получается...
[qx^(q-2) - x^(q-2) + qx^(-q-1) - qx^(q-1) + x^(q-1) - qx^(-q) + x^(q-1) - x^(-q)]/(1-x)^2
сократить не получается...

Нет, наоборот. q - переменная.

1/(1-x) * (x^(q-1) lnx - x^(-q) lnx) Так?

Не совсем. Неправильно производную от x^(-q) взяли.

1/(1-x) * (x^(q-1) lnx + 1/x^(2q) x^q lnx) А теперь?

Ну да, там вместо минуса должен был быть плюс. Теперь надо что-то дальше делать.

Упростить никак больше нельзя? Неужели такой интеграл считать?

В Антидемидовиче этот пример подробно разобран.

Где? Какая часть? Дайте посмотреть)

Часть 3. Раздел - эйлеровы интегралы.

Да, вижу. Но тут опять же через Эйлеровы интегралы. И там еще дополнительное условие есть.