Здравствуйте!

Помогите пожалуйста решить дифференциальное уравнение методом вариационной постоянной

x^2*y' + x*y + 1 = 0

Я так понимаю, что сначала делить нужно на x^2, если так, то как дальше

Спасибо!

Решается с помощью метода вариации постоянной (метод Лагранжа).
Сначала решаем однородное уравнение x^2 * y' + x * y = 0
Отсюда получаем, что y = C/x.
Тогда решение исходного уравнения имеет вид y = C(x)/x.
Подставляем в уравнение и получаем, что C'(x) * x = - 1 => C(x) = -ln |x| + C
Ответ: y = (C - ln |x|)/x.

Тролль

Сначала решаем однородное уравнение x^2 * y' + x * y = 0

Объясните пожалуйста поподробнее как мы рассуждаем, и куда делась +1, что мы сделали?

Мы оставляем только ту часть, в которой содержится y' и y, а остальное убираем. Это метод Лагранжа.

Тролль

Если так, то у меня получилось уравнение:

x^2*y+x*y=0

Что дальше можно сделать?

штрих потеряли. ДУ с разделяющимися переменными.

tig81

Попробую, итак:

x^2*y'+x*y=0

y'+y/x=0

dy/dx+y/x=0

dy/y=-dx/x

ln(y)=-ln(x)+lnС

y=-x/y

А как дальше не знаю)))

Верно

Это как получили?

А вот так

Только не y = -x/y.
ln y = -ln x + ln C
ln y = ln C - ln x
ln y = ln (C/x)
y = C/x
А дальше считаем, что C - не константа, а функция, то есть y = C(x)/x.
И подставляем в уравнение x^2 * y' + x * y + 1 = 0.

Тролль

Вот здесь я уже не понимаю как делать нужно, напишите пожалуйста как и с чего начать, инструкцию в ссылке я уже прочёл)))

Чему равно y', если y = C(x)/x ?

Тролль

y' = [C(x)/x]'

А дальше?

Тролль

x^2*[C(x)/x]' + x*[C(x)/x] + 1 = 0

Правильно?

Да, только я имел в виду - чему равно [C(x)/x]' ?

Тролль

[C(x)/x]'=[C(x)/x]'-C(x)/x^2

Какую формулу использовали?

Тролль

(u/v)' = (u' * v - u * v')/v^2

Да, тогда почему вот такая ерунда получилась?
[C(x)/x]'=[C(x)/x]'-C(x)/x^2

Тролль

Подскажите пожалуйста как будет правильно?

Напишите вычисления производной, пожалуйста?

u = C(x), v = x

Тролль

[C(x)/x]'=(C(x)' * x - C(x) * x')/x^2

Да, только x' чему равно?

А дальше подставляем в уравнение и находим C'(x). Потом находим C(x) и подставляем в y = C(x)/x. Получаем ответ.

Тролль x' = 1

[C(x)/x]'=(C(x)' * x - C(x))/x^2





Тролль

В исходное уравнение подставляем, правильно?

Теперь дальше, как я уже написал.

Правильно.

Тролль

[(C(x)' * x - C(x))/x^2]*x^2 + x*[C(x)/x] + 1 = 0

Находите C'(x).

Тролль

Как его найти, Вы имеете в виду отдельно от C(x)/x?

Скобки раскройте.

А потом приведите подобные и всё получится.

Тролль

(C(x)' * x - C(x))+C(x)+1=0

C(x)' * x+1=0

C'(x) выражайте.

Тролль

Я же уже подставил, другого пути не знаю)))

Чему отсюда равно C'(x)?

Тролль

Напишите пожалуйста, у меня ерунда получается)))

Какая ерунда получилась?