Вычислить производные следующих функций:

1) у= (1/sqrt(5)) ln корень из 6 степени ((x^3+sqrt 5)/(x^3-sqrt 5))

2) y=(x^2+1)*arctgx*ln(x^2+1)

3) y=(1+ sqrt(x)) / (1- sqrt(x))

4) у=(sinx)^x

КТО МОЖЕТ ПОДСКАЖИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!

Третье задание решила, отсканировала, там только в первой дроби знак нужно на "-" поменять и ответ получился у меня (1/sqrtx) / (1-sqrtX)^2 может его еще можно преобразовать???
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

1. Производная сложной функции и производная частного.
2. Производная произведения.
3. Преобразовать дальше не надо, можно корень из х в знаменатель перенести.
4. y = (sin x)^x = (e^(ln sin x))^x = e^(x * ln sin x)
А дальше как производную сложной функции.

2. y' = (x^2 + 1) * arctgx * ln(x^2 + 1) + (x^2 + 1) * (arctgx)' * ln(x^2 + 1) + (x^2 + 1) * arctgx * (ln(x^2 + 1))' ТАК???

3. ОТВЕТ 1 / (sqrt (x)*(1-sqrt (x))^2) ???

4. y = (sin x)^x = (e^(ln sin x))^x = e^(x * ln sin x)
а тут sin x надо заменить на е?
просто пример сейчас посмотрела и по нему получается: (sinx)^x * lnsinx
производная у=((sinx)^x)" * lnsinx + (sinx)^x * (lnsinx)" = xcosx^(x-1) * lnsinx + (sinx)^x * ....

3. Да.
4. Нет, e нельзя заменить на sin x.
y = e^(x * ln sin x)
y' = (e^(x * ln sin x))' = e^(x * ln sin x)' * (x * ln sin x)' = (sin x)^x * (x * ln sin x)'

Спасибо БОЛЬШОЕ!!!

4. (sin x)^x * (x * ln sin x)' = (sin x)^x * ((x)' * ln sin x + x * (ln sin x)') =
= (sin x)^x + (ln sin x + x * (ln sin x)') ???

и

2. y' = (x^2 + 1) * arctgx * ln(x^2 + 1) + (x^2 + 1) * (arctgx)' * ln(x^2 + 1) + (x^2 + 1) * arctgx * (ln(x^2 + 1))' ТАК???

Подскажите пожалуйста...

4. Да, осталось найти производную ln sin x.
2. y' = (x^2 + 1)' * ...
Остальное верно.

4. = (sinx)^x * (lnsinx + (x/sinx) * (sinx)' )) = (sinx)^x * (lnsinx + (x/sinx) * cosx * x' = (sinx)^x * (lnsinx + (x/sinx) * cosx) = ... правильно?

2. да, пропустила знак ' , спасибо
= [2x * arctgx * ln(x^2 + 1)] + [(x^2 + 1) * 1/(1+ x^2) * ln (x^2 + 1)] +

+ [(x^2 + 1) * arctgx * 1/(x^2 +1) * (x^2 +1)' ] = 2x * arctgx * ln(x^2 + 1) + ln (x^2 + 1) + 2xarctgx =

= 2xarctgx * (ln(x^2 + 1) +1) + ln (x^2 +1) =....

Нет, ln sin x - это сложная функция. Какая формула для производной сложной функции?
Производная ln (x^2 + 1) тоже вычислена неправильно.

Лучше не старое сообщение править, а оставлять новое. Да, теперь правильно.

Спасибо большое, приму к сведению...

Это и будет ответами? или еще надо преобразовать???

В 4) можно упростить cos x/sin x и всё.
2) - уже ответ.
Просто если Вы редактируете старое сообщение, то оно не отображается в списке новых сообщений, и поэтому можно не заметить, что Вы там что-то исправляли.

Спасибо большое...
4) (sinx)^x * (lnsinx + (x/sinx) * cosx) = (sinx)^x * (lnsinx + (x*cosx)/sinx) - ОТВЕТ

и еще про первое задание вопрос:
надо сперва найти производную от произведения (u*v)' = u' * v + u * v' , а потом (ln u)' = 1/u *u' ??? там такие дроби получаются...

Чему равно cos x/sin x ?
Нет, сразу ln, константу можно вынести из-под знака производной.

косинус/синус = котангенс?

4. ответ sinx^x * (ln sinx + x*ctgx)

Да.

корень 6 степени из дроби надо вычислить по формуле:
(sqrt u)' = (1/ 2sqrtu) * u'

Нет, sqrt u - это корень 2 степени.
Надо использовать формулу:
(x^n)' = n * x^(n - 1)

получается 1/6 * (дробь)^ -5/6

Да, только надо учесть, что это сложная функция.

1. у= (1/sqrt(5)) ln корень из 6 степени ((x^3+sqrt 5)/(x^3-sqrt 5))

у ' = (1/sqrt(5)) * (ln корень из 6 степени ((x^3+sqrt 5)/(x^3-sqrt 5)))' =

= (1/sqrt(5)) * [корень из 6 степени ((x^3 - sqrt 5)/(x^3 + sqrt 5)) * 1/6 * ((x^3 + sqrt 5) / (x^3 - sqrt 5))^ -5/6]

????

У меня получилось, что y' = -x^2/(x^6 - 5)
Почти верно. Только здесь производная сложной функции.

совсем запуталась...

Какая формула для производной сложной функции?

(u^n)' = n*u^(n-1) * u'

получается мне надо домножить на производную дроби?

Конечно.

только белеберда какая-то получается....
производная от дроби получилась равна (-6x^2 * 2sqrt5) + x^3 / sqrt 5
и если ее умножить на всё остальное....

Какая-то странная производная получилась.
Видимо Вы использовали какую-то белибердовую формулу.

[(x^3 + sqrt5) / (x^3 - sqrt5)] ' = [(x^3 + sqrt5)' *(x^3 - sqrt5) - (x^3 + sqrt5)*(x^3 - sqrt5)' ] / (x^3 - sqrt5)^2 = ...

я наверное еще и про знаменатель забыла, вообще дурдом...

Ну вот, теперь правильно.

[quote name='Резеда' date='15.1.2011, 16:36' post='68877']
[(x^3 + sqrt5) / (x^3 - sqrt5)] ' = [(x^3 + sqrt5)' *(x^3 - sqrt5) - (x^3 + sqrt5)*(x^3 - sqrt5)' ] / (x^3 - sqrt5)^2 = ...

=[(3x^2 + 1/2sqrt5) * (x^3 - sqrt5) - (x^3 - sqrt5) * (3x^2 + 1/2sqrt5)] / (x^3 - sqrt5) = ...

а вот что дальше??? я перемножила там получился предыдущий ответ,деленный на знаменатель...

Чему равна производная sqrt 5???

1/2sqrt5 и?

Нет конечно.

=[(3x^2 + 1/2sqrt5) * (x^3 - sqrt5) - (x^3 - sqrt5) * (3x^2 + 1/2sqrt5)] / (x^3 - sqrt5) = ...

тут со знаками немного напутала
=[(3x^2 + 1/2sqrt5) * (x^3 - sqrt5) - (x^3 + sqrt5) * (3x^2 - 1/2sqrt5)] / (x^3 - sqrt5) = ...

Производная sqrt 5 равна 0!!!

так вот в чем проблема, ПОДСКАЖИТЕ ПОЖАЛУЙСТА...

Исправьте теперь и запишите всё выражение целиком.

Спасибо!!!
тогда = [3x^2 * (x^3 - sqrt5) - 3x^2 * (x^3 + sqrt5)] / (x^3 - sqrt5)^2 = 3x^2 * (x^3 - sqrt5 - x^3 + sqrt5) / (x^3 - sqrt5)^2 = [3x^2 * (-2sqrt5)] / (x^3 - sqry5)^2 = ...

Записывайте теперь всё выражение целиком.

у' = 1/sqrt5 * [корень 6 степени из ((x^3 - sqrt5) / (x^3+sqrt5)) * 1/6 * ((x^3 + sqrt5) / (x^3 - sqrt5))^-5/6 * ((3x^2 * (-2sqrt5)) / (x^3 - sqrt5)^2) ] = ...

Да, теперь осталось преобразовать. В частности перейти от степени -5/6 к 5/6.

нужно дробь в степени -5/6 перенести в знаменатель, а потом просто поменять местами числитель со знаменателем???

Сложно понять, что Вы имеете в виду. Сделайте, как Вы это понимаете и напишите, что получилось.

= 1/6sqrt5 * [((x^3-sqrt5) / (x^3 + sqrt5))^1/6 / (x^3 + sqrt5) / (x^3 - sqrt5) ^5/6) *
* ((3x^2 * (-2sqrt5)) / (x^3 - sqrt5)^2)] = ...


и когда делим на дробь, то можно же умножить на ту же самую, только перевернутую дробь?

Да, теперь избавляемся от дроби в знаменателе и сокращаем всё, что можно. Да, переворачиваем ее.

ответ получился такой: - [x^2 * (x^3 - sqrt5)] / (x^3 + sqrt5)^3 ????

Нет, я же написал ответ. Откуда в знаменателе куб взялся?

ну когда дробь в степени 5/6 перевернула и перемножила на такую же дробы в степени 1/6, получилась эта дробь в 1 степени, не так???

Так.

ну там же везде умножение, вот и перемножила 2 знаменателя с двух дробей

в числителе (x^3 - sqrt5), а в знаменателе (x^5 + sqrt5)^3 ничего не сокращается больше...