Подскажите, как найти интеграл:

int[arccos(2x)dx] ?

По частям.

Проверьте, пожалуйста, правильность решения

int[arccos(2x)dx] =
x*arccos(2x)+2*int[x/sqrt(1-x^2)]dx =
x*arccos(2x)+int[1/sqrt(1-x^2)]d(1-x^2) =
x*arccos(2x)+2*sqrt(1-x^2)+C

Когда вносили под дифференциал (в вашем решении третья строка), кажется потеряли знак.

Нет, производная arccos (2x) равна -2/(1 - (2x)^2)^(1/2)

А от 1-x^2?

Там тоже неверно, но это ошибка уже потом.

... = x*arccos(2x) - int[-2x/sqrt(1-4x^2)]dx=
= x*arccos(2x) + 2*int[x/sqrt(1-4x^2)]dx=
= x*arccos(2x) + 2*int[d(1-4x^2)/2*sqrt(1-4x^2)] =
= x*arccos(2x) + 2*sqrt(1-4x^2) + C ????

... = x*arccos(2x) - int[-2x/sqrt(1-4x^2)]dx = x*arccos(2x) + 2*int[x/sqrt(1-4x^2)]dx=
А дальше так:
= x*arccos(2x) + 2*int[(-1/8) * d(1-4x^2)/sqrt(1-4x^2)] = x*arccos(2x) - 1/4 * 2*sqrt(1-4x^2) + C = x * arccos (2x) - 1/2 * sqrt (1 - 4x^2) + C

Спасибо, разобралась! Не понятно только одно, почему 1/8 со знаком "-", а не "+" ?

-1/8 d (1 - 4x^2) равняется x dx, так как (1 - 4x^2)' = -8x

Теперь все понятно, еще раз спасибо!