Вычислить неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием:


1) int(dx/(e^x+e^-x) = tan^-1(e^x)

2) int arctg(sqrt(7x-1)dx) = xtan^-1(sqrt(7x-1)-1.7(sqrt(7x-1))

3) dx/(x^2+2x-3) = -1/2tanh^-1((x+1)/2)

4) 2xdx/(x^2-2x+2) = log((x-2)x+2)-2tan^-1(1-x)

Помогите пожалуйста расписать ответы и как проверить их дифференцированием???

Будьте добры!!!

А ответы откуда взялись?
Посмотрите примеры: http://www.reshebnik.ru/solutions/4/

всё с того же математического калькулятора, спасибо сейчас нляну.

1. Замена t = e^x.
2. Интегрирование по частям.
3. x^2 + 2x - 3 = (x + 1)^2 - 4
4. x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1

Здраствуйте, вот села решать опять, и опять трудности в решении, кто может помогите пожалуйста!!!

1) int(dx/(e^x+e^-x)
Сделаем замену t=e^x, тогда dt=de^x=e^xdx, следователь dx= dt/e^x, используя последнее равенство получаем
= int(dt/(e^x(e^x+e^-x) = int(dt/(t(t+t^-1) незнаю правильно расписала или нет и что дальше делать незнаю...

4) int 2xdx/(x^2-2x+2) = int(2(x+1)-2)/((x-1)^2+1)
сделав замену z=x-1, получим
int (2zdz)/(z^2+1) - int (2dz/(z^2+1))
в первом из двух слагаемых сделаем замену s=z^2+1 и получим

int(dx/(e^x+e^(-x))=int(e^xdx/((e^x)^2+1)
Теперь делайте замену

Как после замены получили такой числитель?

1) замена t=e^x
int tdx/(t^2+1) правильно? и что дальше делать, вообще не соображается... подскажите пожалуйста

4) int 2xdx/(x^2-2x+2)= int (2(x-1)+2)/((x-1)^2+1) замена z=x-1
int (2z+2)/(z^2+1)=int 2zdx/(z^2+1) +2dz/(z^2+1)
в первом из двух слагаемых сделаем замену s=z^2+1
int2zdx/(z^2+1)=(1/2z)+C
Во втором слагаемом применим метод понижения степени:
int2dz/(z^2+1)=(((z^2+1)-(z^2-1))/(z^2+1))dz=int((z^2+1)/(z^2+1))dz-int(z^2-1)/(z^2+1)dz=-int(z^2-1)/(z^2+1)dz
что-то не так получается, обе стороны сокращаются кажется,
ПОДСКАЖИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ЧТО НЕ ТАК Я ДЕЛАЮ. И ЧТО ДАЛЬШЕ ДЕЛАТЬ???

1) замена t=e^x
int tdt/(t^2+1)= ((t^2)/2) / ((t^3)/3 +t))
что-то не то получилось...????
или надо так int=t (dt/(t^2+1)) = t*arctgt+C=e^x*arctg e^x+C ????

t откуда в числителе?

Как вы t вынесли за интеграл, если по этой переменной интегрирование?! Показывайте, как делали замену.

Уже голова кругом, просто в выражении int e^xdx/(e^x)^2+1 в числителе есть е^x, и если его заменить на t, то он же и останется в числителе, как я поняла

int dx/(e^x+e^-x)=int e^xdx/(e^x)^2+1
сделаем замену t=e^x
получим int dt/(1+t^2)=arctgt+C=arctg e^x + C так правильно??? подскажите пожалуйста...

e^x=t
e^xdx=dt
Т.е. весь числитель заменится dt.

да.

Спасибо!!!

4) int 2xdx/(x^2-2x+2)= int (2(x-1)+2)/((x-1)^2+1) замена z=x-1
int (2z+2)/(z^2+1)=int 2zdx/(z^2+1) +2dz/(z^2+1)
в первом из двух слагаемых сделаем замену s=z^2+1
int2zdx/(z^2+1)=(1/2z)+C
Во втором слагаемом применим метод понижения степени:
int2dz/(z^2+1)=(((z^2+1)-(z^2-1))/(z^2+1))dz=int((z^2+1)/(z^2+1))dz-int(z^2-1)/(z^2+1)dz=-int(z^2-1)/(z^2+1)dz
что-то не так получается, обе стороны сокращаются кажется,
ПОДСКАЖИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ЧТО НЕ ТАК Я ДЕЛАЮ. И ЧТО ДАЛЬШЕ ДЕЛАТЬ???

или

4) int 2xdx/(x^2-2x+2)=(2x-2+2)/(x^2-2x+2)dx=(2x-2)/(x^2-2x+2)dx + 2dx/(x^2-2x+2)
для первого слагаемого замена t=x^2-2x+2, тогда dt=(2x-2)dt,
получим интеграл int (2x-2)/(x^2-2x+2)dx=int dt/t
Для второго слагаемого выделяем полный квадрат в знаменателе: (x-1)^2 + 1, замена (x-1)=z dx=dz
получим int 2dx/(x^2-2x+2) = 2int dz/z^2+1=2arctgz + C
следовательно int dt/t + 2intdz/(z^2+1) = ln(t+C)+2arctgz + C=ln(x^2-2x+2)+2arctg(x-1)=log(x-2)(x+2)-2tan^-1 (1-x)

???? Подскажите пожалуйста... еще надо все это проверить дифференцированием...

Я бы делала так, хотя и первое решение имеет право на существование. Но все сливается,Ю проверить не могу. Если что, то отсканируйте решение, тогда посмотрим.

Получается второй вариант правильный???

Кстати у меня есть отсканированные наброски,посмотрите пожалуйста...
Нажмите для просмотра прикрепленного файла Нажмите для просмотра прикрепленного файла

а) правильно.
б) du неправильно найдено, нужно ещё на производную корня домножить.
в) После замены должно стоять dt, а не dx. Откуда взялся tang^(-1) ??? Константу в конце забыли.
г) Не ln (t + c), а ln |t|. Откуда взялся log (x - 2)(x + 2)??? И константу опять забыли.

du = 1/2x* sqrt (7x-1) ???

Да, только скобки ставить надо.

du = dx / (2x* sqrt (7x-1))
v = x
int udv = u*v - int vdu
int arctg (sqrt (7x-1)) dx = arctg (sqrt (7x-1)) *x - int [x * (dx / (2x* sqrt (7x-1))] = ...

Да.

= x* arctg (sqrt (7x-1)) - x* int (dx / (2x* sqrt (7x-1)) = ...
а как найти интеграл последний? плиз...

Он табличный. х сокращается.

не поняла я что получится, нигде не могу найти пример с табл интегралом, поподробнее подскажите пожалуйста...

Интеграл от 1/(7x - 1)^(1/2) чему равен?

x* arctg (sqrt (7x-1)) - int (x*dx / (2x* sqrt (7x-1)) тут сократили х,
но в знаменателе же осталось 2* sqrt (7x-1))
если без 2, то [(7x - 1)^3/2] / (3/2) ??

Нет, 1/2 - константа, ее можно вынести, а потом надо сделать замену 7x - 1 = t, раз сразу Вы его не можете взять.

а дальше получается:
int dx / t^(1/2) = ln (t^(1/2) + C так или нет?

Мда, тяжелый случай. Как делается замена в интеграле? dx надо поменять, и интеграл неправильно взят.

dx=dt
int dt / t^(1/2) = ....

dx не равно dt в данном случае.

так я и не придумала ничего... ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!

Ничего не надо придумывать. Пройдите по ссылке.
http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/undint/UnDefInt1.htm

= ln (x + t +c) ??? глупый вопрос наверное, но ...

Откуда ln (x + t + c) появился???

int dx / t ^(1/2) = ему...

Во-первых, Вы ещё не перешли от dx к dt, а во-вторых, интеграл от 1/t^(1/2) посмотрите в таблице интегралов.