Применяя ортогональные преобразования координат, привести уравнение квадрики к каноническому виду. Записать соответствующий базис и формулы преобразования координат. Построить поверхность

2xy+2xz+2yz+2x+2y+2z=0 квадратов нет

матрица квадратичной формы

0 1 1
1 0 1
1 1 0

нашел собственные числа лямбда лямбда1 = 2; лямбда1 = -1;

начинаю искать собственные вектора, уравнение не решается т.к. матрица является выраженной
например для лямбда1

-2 1 1
1 -2 1
1 1 -2

куда дальше рыть не знаю

Какое уравнение не решается и как его пытаетесь решить?

оговорился, система уравнений

координаты собственного вектора для лямбда1 (x1,y1,z1) htitybt cbcntvs

-2x1+y1+z1=0
x1-2y1+z1=0
x1+y1-2z1=0

есть конечно решение когда x1=y1=z1=0, но такое же решение будет и для собственного вектора для лямбда2=1 когда решим систему уравнений

x2+y2+z2=0
x2+y2+z2=0
x2+y2+z2=0

возможно базис и преобразования координат надо искать по другому, но в учебниках нашёл только этот способ

Собственным может быть лишь ненулевой вектор.
Что знаете о методе Гаусса решения СЛАУ?

в том то и проблема что собственный вектор найти не могу.

-2x1+y1+z1 = 0
x1-2y1+z1 = 0 приводим к виду
x1+y1-2z1 = 0

-2x1+y1+z1 = 0
-3y1+3z1 = 0
3y1-3z1 =0

а что дальше? как привести к треугольному виду?

Отбросить последнее уравнение и радоваться.

хорошо, в итоге получаем что корнями будут любые числа? т.е. x1=y1=z1
т.е. собственным вектором может быть любой для которого выполняется это условие?
кроме естественно (0;0;0)
исходя из
http://www.reshebnik.ru/solutions/10/9
при лямбда1=лямбда2=2
можно записать что два собственных вектора имеют координаты (1;1;1) и (2;2;2)?

а третий при лямбда3=-1

находим из СЛАУ

x1+y1+z1=0
x1+y1+z1=0
x1+y1+z1=0

преобразуем систему, получим

x1+y1-x1-y1=0
z1=-y1-x1

отсюда следует что решение имеет вид x1=y1, z1=-x1-y1? т.е. собственный вектор имеет координаты (1;1;-2)
как теперь получить ортонормированный базис? если два первых вектора не ортогональны друг другу?

Ортогонализацию Грамма-Шмидта знаете?