Помогите вычислить двойной интеграл х*у^2dxdy, если область Д ограничена окружностями x^2 + (y-1)^2=1 и x^2+y^2=4y. Начало выкладываю - если дальше решать - слишком большие цифры получаются

В конце 2 раза dф написали, а так вроде правильно.
Выкладывайте всё решение, будем смотреть.

Пока все правильно, надо дальше решать. Получаются простые интегралы.

Решая внутренний интеграл получаем внешний 992/5*int от -Пи/2 до Пи/2 cosФи*sin^7ФиdФи
Как разложить в этом случае sin^7Фи?

Его не надо никак раскладывать.

то есть внутренний интеграл я правильно решил?

Только пределы от 0 до pi. Осталось взять последний интеграл.

cosФи и sin^7Фи надо преобразовать в одну тригонометрическую функцию. Иначе как её решить? В какую?

Т.е. под интегралом у вас стоит произведение косинуса на синус в 7? Тогда делайте замену sinФи=у

а как с косинусом быть? преобразовать в кв. корень из 1-y^2?

Нет. cos fi dfi = d (sin fi) = dy

все гениальное просто

а пределы интегрирования 0 и Пи преобразовывать не надо? но если потом преобразовать обратно у в синусФи, то синус 0 = 0, синус Пи = 0. Опять что-то не выходит

Если вносите под дифференциал, то не надо.

ну ладно не буду, но вычислив интеграл, надо обратно преобразовывать у в синус Фи или оставить у и подставить в у^8/8 значения 0 и Пи.
Тогда ответ получится 124*Пи^8?

Давайте лучше решение полностью, а то я что-то не поняла, у вас замена или вы вносите под дифференциал.

это продолжение решения - начало чуть выше.

Тогда ответ получится 124*Пи^8?

Раз делали замену, то надо пересчитывать пределы интегрирования. Или вы потом обратно к переменной фи возвращались?

если вернусь к переменной Фи - ответ будет 0, а как пересчитать пределы интегрирования - ума не приложу

А это и так можно было сказать, не считая интеграла. Область Ваша симметрична относительно оси Оу, а подынтегральная функция - нечётная по иксу. Поэтому в сумме как раз и получится 0.